第二十讲泰勒中值定理.pptVIP

其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 其中, 的奇数阶导数为零, 故一般将 展至奇数项, 以提高精度. 实际应用中, 计算 的近似值时, 均展开到 2m 阶马克劳林公式, 即有 它们的误差估计式均为 请自己算一下 解 例4 为什么只要二阶？ 解 例5 误差为 不难 ！ 该式中等号成立. 由泰勒 (马克劳林) 公式 综上所述, 即得所证. 例6 证 * 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第二十讲 泰勒中值定理 第三节 泰勒中值定理 第五章 微分中值定理 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 在近似计算和理论分析中, 对于复杂函数f (x). 常希望用一个多项式P(x) = a0+a1x+a2x2 +…+ anxn 来近似表示 f (x). 比如, 当|x|很小时, ex ? 1+x, sin ? x. 都是用一次函数表示函数 f (x)的例子. 缺陷: (1)精度不高, 误差仅为o(x) (2)没有误差估计式. 从几何上看, 缺陷(1)是由于我们在x=0附近用直线代替曲线, 精度当然不高. 能否改用二次曲线, 三次曲线, …, 代替? 精度是否能提高, 或者说, 曲线的吻合程度是否会更好些呢? 泰勒中值定理 泰勒中值定理的产生： 微 分 带皮亚诺余项的 泰勒公式 拉格朗日中值定理 泰勒公式 带拉格朗日余项的 泰勒公式 还有带其它余项的 一. 带皮亚诺余项的泰勒公式 带皮亚诺余项的马克劳林公式 带皮亚诺余项的泰勒公式的产生 如果我们希望提高精度, 应怎么办? 由极限知识可知, 此时应有 我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要 补充什么条件. 运用罗必达法则, 得 该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式. 运用罗必达法则计算极限. 该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式. 仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的 n 阶 泰勒公式. 则在该邻域内有 二. 带拉格朗日余项的泰勒公式 带拉格朗日余项的马克劳林公式 带拉格朗日余项的泰勒公式的产生 定理条件 称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为 想一想, 如何求出这里的待定函数. 与带皮亚诺余项的一阶泰勒公式比较, 此时应有 设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较, 此时应有 仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的 n 阶 泰勒公式. 带皮亚诺余项的泰勒公式 则在该邻域内有 带拉格朗日余项的泰勒公式 e 的近似计算公式 估计误差 解 例1 解 例2 泰勒公式 其中, 展开式的具体形式与 n 的奇偶性有关. 其中, 的偶数阶导数为零, 故一般将 展至偶数项, 以提高精度. 泰勒公式 解 例3