16.三角学的确立三角学的确立最早的三角术据我国的《史记·夏本记.docVIP

三角学的确立 最早的三角术 据我国的《史记·夏本记》记载，早在公元前二千年，大禹就利用过三角形的边角关系来进行对山川地势的测量。到《周髀算经》则讲得更详细了。有这样一段记载：周朝初年(约公元前1100年)，周公问商高用矩尺测矩的方法，商高说“……偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远……。”(图1)矩是直角尺，所谓 (图1) “偃矩以望高”是说，若把矩竖着放置，从矩的详端A仰望高 处的E，视线AE与CB交于D，那么根据相似三角形的性质， 可得高x=AF·。这里，是仰角∠EAF的正切值。 (当然，中国古代并没有角函数的名称。)若把直尺BC复过来往 下垂(图2)，即所谓复矩，那么根据同样的原理，就可以测量深处目的物的俯角正切值，从而算出目的物的深度。同样，把直尺CB放在水平面上，那自然可以测量远处两目的物之间的夹角的正切值，并算出它们的距离。 (图2) 如果F是一个不可到达的地方，比如是一个方圆很大的山 脚，或者是一个天上的星球，那么就可以通过在不同地方的两次测量来获得结果，这也就是后来刘徽提出的三角测量法——“重差术”的理论基础。 在国外，古希腊的“七贤之一”泰利斯也从事过三角测量，大约在公元600年左右他曾利用日影测得金字塔的高度，使埃及王大为惊叹。 第一张弦表的问世 虽然三角学中的六个基本函数最早出现的是正切，但最早给以单 独研究的却是正弦。 正弦概念的形成是从造弦表开始的。公元前二世纪古希腊天文学 家希帕克为了天文观察的需要着手了造表工作。根据现在的认识，正 弦表的制作似乎应该利用已知角A作直角三角形(图3)，然后从度量 (图3) BC与AB并计算 而得到。事实上不是这样，希帕克采用的是在一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所相应的弦AB的长。就是说，希帕克所得出的一系列弦值，并不是现在意义下的正弦值，而是“全弦值”。不过，希帕克终究揭示了圆弧与圆弦在量值上的对应关系。(图4)由于圆弧与圆心角是可以有相同量值的， 因此希帕克的弦表实际上已给出了角与弦之间的对应关系。 由于希帕克的原著早已失传，我们所知的关于希帕克在三角学 上的成就是从托勒密(Ptolemy85-165)的遗著中得到的。虽然托勒密 说他的这些成就是继承了希帕克的，但不少是他自己的，因此有人 干脆把第一张弦表叫做托勒密弦表。 (图4) 据托勒密书中记载，度量圆弧与弦长，采用巴比仑人的60进位法。首先把圆360等分，而把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又分成60等分，这样就得出了托勒密所谓的“第一小份”、“第二小份”。这也就量度、分、秒概念的起源。 建立了半径与圆周的度量单位后，托勒密就着手计算一些特殊圆弧所对应的弦长，如：由于60°弧(圆周长)所对的弦长正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60°弧对应的弦值是60个半径单位(半径长的为一个单位)。用同样的方法他又得出90°圆弧(圆周长)72°圆弧及36°圆弧所对应的弦值。托勒密没有用“度”这一名称，°、′、″这些符号是1570年由卡拉木始用后继取下来的。 有36°、60°、72°、90°和是两条已知对应弦长的弧，它们所对应的弦分别是AC与AB，求所对的弦的长，就是求与的差所对应的 弦的长。若BC弦的长为x，则根据托勒密定理有： AC·BD=x·2R+AB·CD，所以 x=. 由直角三角形Rt△ABD和Rt△ACD， 可求得BD=, CD= 于是 x= . （图5） 这里托勒密给出的是圆弦，它相当于现在圆心角一半的正弦的两倍。因此用正弦符号sin来表示的话，那么上述由两已知对应弦长的弧求其差的对应弦的关系式，实际上是给出了已知sinA和sinB求sin(A－B)的公式。同样，由两已知对应弦长的弧来求其和的对应弦的关系式，即是给出了已知sinA、sinB求sin(A+B)的公式，而由圆的任一条给定弦求出相应半弧的对应弦的关系式，即是从sinA求sin的公式。 这样，从已知36°、60°、72°、90°(72°－60° 等分)。但托勒密的愿望是造一张每段间隔为的弧所对应的弦长表， 因此他必须求出1°弧所对应的弦长。这里，托勒密很有意思地利用了 (图6) 不等式 ＞＞ ，即他利用了弦长同对应弧长的比，是随着弧的增大而逐渐减小的这一关系，用正弦符号表示，即 (β＜α＜)最后他得出的弦的近似值是 + 个半径单位。 于是他依次算出1°、1.5°、2°、2.5°……一直到180°Aryabhata约476～550年)，他造出了第一张正弦表。这