百分位数和百分等级教学疑义之解析.docVIP

百分位數與百分等級教學疑義之解析 新竹市數學輔導團 國中組 對應的能力指標 暫行綱要： D-4-1 能利用統計量，例如：百分位數，來瞭解資料散佈的情形。 正式課程綱要： D-4-01 能報讀百分位數，並認識個體在群體中相對地位的情形。 定義 在統計學上，會先將收集得來的資料由小至大或由大至小排列，經由排列之後的資料才再加以分析解釋。以下定義是指已將資料由小至大排序之後的判斷方式。 百分位數： 將資料分成相等的一百個部份，中間的９９個切割點可以稱之為第１、第２，…及第９９個百分位數。 百分位數是一各位置量數，旨在將有序資料量的相對位置標示出來，可由此看出資料的集中或分散的情形，整體資料是偏高還是偏低。 百分等級(Percentile Rank ，簡稱PR值)： 係指原始分數低於某個分數的人數百分比，且只取整數值。百分等級是應用最廣的測驗分數表示方法。也就是分數高過多少百分比的人數。 而百分等級即為排名序列之間的一範圍，旨在比較該範圍相對於全體資料的大小。 課程引入參考方式 建議採用仁林版的引導方式，先以學生們熟悉習慣的考試排名情境來引入百分等級(PR值)的介紹，並輔助繪製圖表來加強印象。 EX： 某次考試，參與該考試的考生共30000人，今要將全部考生分成100組，則一組需要有多少人？(要強調此概念) 30000÷100＝300 則可知一組需要300人。 若將30000位考生依照分數由高至低排列所得的名次，依次分成100組，則可得一分組表。將此100組，按名次由低至高分別標上99、98、97，……，2，1，0；則每組相對應的數字即為該組的PR值。 名次 1~ 300 301~ 600 601~ 900 … 29101~ 29400 29401~ 29700 29701~ 30000 PR 值 99 98 97 … 2 1 0 注意：不要一開始引入時，就舉類似以下例子，例如全部人數有38562人，則這時分成100組，其人數無法除盡，會造成學生學習困擾，應在學生熟練之後，再加以解釋。 教學疑義 若某考試有30000位考生，其中之一考生得到的PR值＝53，則該考生的名次又應為何呢？ 仍先引導學生繪製表格，方便判斷。 名次 1~ 300 301~ 600 601~ 900 … 29101~ 29400 29401~ 29700 29701~ 30000 PR 值 99 98 97 … 2 1 0 又PR＝53，表示在全部的考生當中，該分數嬴過了全部當中53％的人數，所以 30000×＝15900，嬴過了15900人。 則換算成名次： 30000－15900＝14100(名)， 所以PR=53中最後一名考生的名次為14100名。 14100－300＋1＝13801(名)， 所以PR＝53中第一名考生的名次是13801名。 因此PR＝53，排名在13801~14100名之間。 承上題，到底(A) 13801~14100或(B) 13800~14100何者正確呢？ 大家對於此兩種答案經常容易感到疑惑，雖然在正式定義內，排13800名已屬於PR＝54，理論上不應存在PR＝53中，但是因為統計學上是討論大約的參考值，允許有較小的誤差存在，且在任何考試中，我們都無法排除有可能會有同分的狀況出現，名次也無法準確算出，因此可告知學生此種概念，此時只要回答約為13800~14100名即可。 若考試人數為35862人，分成100組，則一組應為多少人呢？ 35862÷100＝358.62≒358 取一組358人來計算。 為何要以無條件捨去法來決定人數呢？ 因為實際上百分等級的計算公式非常複雜，會考慮到學生同分之類的因素，因此每一組實際人數皆不盡相同，因此只要讓學生了解分割成100組，一組大約有多少人的想法即可。 若考生PR值一樣，則分數會相同嗎？ 當然不一定相同，因為在同一組別當中，可有很多種成績存在，只是在分100組時，位於同一組別當中。 若有考生分數相同時，則PR值會都一樣嗎？ 若某些考生分數相同，分組時落在同一組別當中，這些考生的百分等級當然相同。 若某些考生分數雖然相同，但在分組時恰好位於不同的組別，但這些考生贏過的人數都固定，百分等級當然相同，且應以排名較差考生落在的組別來計算百分等級。 例如： 名次 1~ 300 301~ 600 601~ 900 … 29101~ 29400 29401~ 29700 29701~ 30000 PR 值 99 98 97 … 2 1 0 若排名在298、299、300、301、302這些考生的分數相同，則這五人都只贏過排名在303之後的考生，因此這五位考生的百分等級都應與排名302名者相同，也就是PR＝98。 是不是所有的百分等級都一定存在？ 不一定，如同前一問