现代控制理论_稳定性与李雅普诺夫方法基础知识.ppt

与经典控制理论中的稳定性一致 李雅普诺夫意义下稳定 不稳定 例： 设系统方程为： 试确定其输出稳定性、状态稳定性。 [解] （1）系统的传递函数为： 极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统输出稳定。 （2） 求系统的特征方程： 系统不是渐近稳定的。 4.3 李雅普诺夫第二法（直接法） 李氏第二法是从能量的观点出发得来的，它的基本思想建立在古典力学-振动系统中一个直观的物理事实上：任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。 对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量随时间而最终消失，那么这个系统是渐近稳定的。反之则不稳定。 若能量在运动过程中不增不减，则称为李雅普诺夫意义下的稳定。 但由于系统的形式是多种多样的，不可能找到一种能量函数的统一表达形式。因此，为克服这一困难，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数，记为v(x，t)或v(x)。由于v(x)是表示能量的函数，所以v(x) 0。这样就可以根据 的定号性来判断系统的稳定性。显然，若v(x) 0，并且 0，则系统就是渐近稳定的。 例：机械位移系统 选 状态方程 系统能量 例：机械位移系统 选 能量随时间变化率 运动会停止吗？ 能量随时间变化率 能量不断衰减 渐近稳定！ 例：机械位移系统 李雅普诺夫第二法的基本思想 求出系统的能量函数（李雅普诺夫函数） ——标量函数。 求出能量随时间变化率 。 依据系统的状态方程考察能量函数在运动过程 中的变换规律。 利用 和 的符号特征，判断平衡状 态稳定性。 * 第4章 在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。 导弹稳定控制 倒立摆稳定控制 稳定性与李雅普诺夫方法 演示 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 4.2 李雅普诺夫第一法 4.3 李雅普诺夫第二法 4.4 李雅普诺夫方法在线性系统中的应用 主要内容： 一个控制系统要能够正常工作首要条件是保证系统稳定。因此，控制系统的稳定性分析是系统分析的首要任务。 1892年，俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov）在《运动稳定性的一般问题》一文中，提出了著名的李雅普诺夫稳定性理论。该理论作为稳定性判别的通用方法，适用于各类控制系统。李雅普诺夫稳定性理论的核心是提出了判断系统稳定性的两种方法，分别被称为李雅普诺夫第一法和第二法。 李氏第一法是通过求解系统的微分方程，然后根据解的性质来判断系统的稳定性，其基本思路与分析方法和经典理论是一致的。该方法又称为间接法。 而李氏第二法的特点是不求解系统的微分方程（或状态方程），而是首先构造一个类似于能量函数的李雅普诺夫函数，然后再根据李雅普诺夫函数的性质直接判断系统的稳定性。因此，该方法又称为直接法。 4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义 稳定性是系统性能研究的首要问题！ 控制系统本身处于平衡状态，受到扰动，产生偏差。 扰动消失后，偏差逐渐变小，能恢复到原来的平衡 状态，则稳定。偏差逐渐变大，不能恢复到原来的 平衡状态，则不稳定。 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性。 经典控制理论对稳定性分析的局限性 （1）局限于描述线性定常系统 （2）局限于研究系统的外部稳定性 经典控制理论的稳定性判据 劳斯（Routh）判据 奈氏（Nyquist）判据 现代控制理论对稳定性分析的特点 （1）稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变系统； （2）研究系统的外部稳定性和内部稳定性； （3）能够反映系统稳定的本质特征。 稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而言的。 对于线性定常系统，通常只存在唯一的一个平衡状态，所以，只有线性定常系统才能笼统地将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。而对于其他系统，平衡点不止一个，系统中不同的平衡点有着不同的稳定性，我们只能讨论某一平衡状态的稳定性。 为此，首先给出关于平衡状态的定义，然后再介绍李雅普诺夫关于稳定性的定义。 4.1.1 系统状态的运动及平衡状态 设系统方程为： 不受外力 n维状态向量 n维向量函数 f一般为非线性时变函数，若不显含t，则为非线性定常