第8章因素分析.ppt

第八章;§8.1 引言;3、因子分析的目的： 因子分析的目的之一,简化变量维数,即要使因素结构简单化,希望以最少的共同因素(公共因子),能对总变异量作最大的解释,因而抽取的因子愈少愈好,但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好. 在因子分析的公共因子抽取中,应最先抽取特征值最大的公共因子,其次是次大者,最后抽取公共因子的特征值最小,通常会接近0.;★实例1 在企业形象或品牌形象的研究中,消费者可以通过一个有24个指标构成的评价体系,评价百货商场的24个方面的优劣. ＆但消费者主要关心的是三个方面,即商店的环境、商店的服务和商品的价格.因子分析方法可以通过24个变量,找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子,对商店进行综合评价.而这三个公共因子可以表示为： ＆称 是不可观测的潜在因子,称为公共因子.24个变量共享这三个因子,但是每个变量又有自己的个性,不被包含的部分 ,称为特殊因子.这就是个因子分析模型.; 实例2 调查青年对婚姻家庭的态度,抽取n个青年回答了p=50个问题的答卷,这些问题课归纳为如下几个方面:对相貌的重视、对孩子的观点、对老人的态度等等,这也是一个因子分析的模型,每一个方面就是一个因子.; 实例3 考察人体的五项生理指标:收缩压(X1)、舒张压(X2)、心跳间隔(X3)、呼吸间隔(X4)和舌下温度(X5).从生理学知识可知,这五项指标是受植物神经支配的,植物神经又分为交感神经和副交感神经,因此这五项指标至少受到两个公共因子的影响,也可用因子分析的模型去处理它.; 因子分析的主要应用有两方面:一是寻求基本结构,简化观测系统,将具有错综复杂的对象(变量或样品)综合为少数几个因子(不可观测的随机变量),以再现因子与原始变量之间的内在联系;二是用于分类,对p个变量或n个样品进行分类.;4、主成分分析分析与因子分析的联系和差异： 联系: (1)因子分析是主成分分析的推广,是主成分分析的逆问题.(2)二者都是以“降维”为目的,都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发. 区别:(1)主成分分析模型是原始变量的线性组合,是将原始变量加以综合、归纳,仅仅是变量变换;而因子分析是将原始变量加以分解,描述原始变量协方差矩阵结构的模型;只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时,因子分析才对应变量变换.(2)主成分分析,中每个主成分对应的系数是唯一确定的;因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的.(3)因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释;而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限. ;§8.2 因子模型;假定随机向量X满足以下的模型:;(8.2.2);（1） （2）;（3）; 在正交因子模型中,假定公共因子彼此不相关且具有单位方差,即D(F)=Im.由; 如果原始变量已被标准化,在(8.2.3)式中将用相关阵代替协方差阵.在此意义上,公共因子解释了观测变量间的相关性.用正交因子模型预测的相关与实际的相关之间的差异就是剩余相关.评估正交因子模型拟合优度的好方法就是考察剩余相关的大小.; 因子分析的目的首先是由样本协方差阵 估计? ,然后由;(8.2.3);;二、正交因子模型中各个量的统计意义;如果Xi是标准化变量(即E(Xi)=0,Var(Xi)=1),即Xi为; 在各公共因子不相关的前提下, (载荷矩阵中第i行,第j列的元素)是随机变量Xi与公共因子Fj的相关系数,统计术语叫做“权重”,它表示Xi依赖Fj的分量(比重). 由于历史的原因,在心理学中将模型(8.2.1)中的系数 叫做“载荷”,即第i个变量在第j个因子上的载荷(或负荷),反映了第i个原始变量在第j个公共因子上的相对重要性.因此 绝对值越大,则公共因子Fj与原始变量Xi的关系越强.;2. 变量共同度的统计意义;为了给出 hi2 的统计意义,下面来计算 Xi 的方差:; 所有的公共因子和特殊因子对变量Xi的贡献为1,即hi2+?i2＝1 . hi2反映了全部公共因子对变量Xi的影响,是全部公共因 子对变量方差所做出的贡献,或者说Xi对公共因子的共同依赖程度,称为公共因子对变量Xi的方差贡献. hi2接近于1,表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子说明了.hi2反映了变量Xi对公因子F依赖的程度,故也称公因子方差hi2为变量Xi的共同度. 特殊因子的方差?i2(剩余方差),反映了原始变量方差中无法被公共因子描述的比例,即各变量的特殊因素影响的大小,就是 1 减掉该变量共同度