积分数超出极限.docVIP

积分号外求极限问题探讨 摘 要 对于含有积分式的函数, 特别是积分麻烦或原函数求不出来的函数, 用通常的方法不易求出其极限,文章介绍了求含有积分式函数极限的方法, 即利用积分中值定理、Riemam引理和含参积分的连续性定理以及上下极限、夹逼准则和洛必达法则来求解,还运用到了拟合法、隔离法等等.掌握相关的定义及性质,并能运用适当的方法就能很轻松的解决积分的极限问题. 关键词 积分与极限交换次序 极限 一致收敛 1 引言 在数学分析中, 极限的概念占有突出的地位, 计算函数的极限也成为教学的一个重点.通常人们利用极限的分析定义、“两边夹” 定理、无穷小量替换、初等函数的连续性、极限的四则运算性质等方法求函数的极限, 但这些方法都是针对一般函数的, 对于含有积分式的函数, 特别是对积分麻烦或原函数求不出来的函数, 这些方法就不适用了,还可以探讨积分号与极限号交换的条件及其运用. 2 一些相关概念 定义1 设｛｝为数列,为定数.若对任给的正数,总存在正整数,使得当时有 则称数列｛｝收敛于,定数称为数列｛｝的极限,并记作,或,读作“当趋于无限大时,｛｝的极限等于或趋于”. 若数列｛｝没有极限,则称｛｝不收敛,或称｛｝为发散数列. 定义2 （定积分）设闭区间上有个点,依次为它们把分成个小区间,……,.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为或.小区间的长度为,并记,称为分割的模. 设函数在上有定义,为某一实数.若,对的任意分割,只要有,则称在上的定积分或黎曼积分.记为 . 定义3（含参量积分） (1)定义：为定义在矩形区域上的二元函数,对于上每一个固定的值,作为的函数在上可积,则其积分值上取值的函数,称为定义在上参含量的（正常）积分,简称含参量积分.它的更一般的情形是上、下限也是的函数： , 其中为定义在上的函数. ⑵性质 （i）连续性（也称连续守恒定理）：若在上连续,则在上连续；若在上连续,且上连续,则在上连续. (ii)可微性：若与在上连续,则在上可微,且 ; 若及在上连续,且为定义在上其值含于 内的可微函数,则在上可微,且 (iii)可积性：若在上连续,则在上可积,且 . (iv)积分号下取极限：若每个在上连续,且时,,则 在上连续,且 . (v)若在上连续,则 . 定义4（反常积分）积分区间无限或被积函数无界的积分称为反常积分.反常积分也成为广义积分或奇异积分. 积分区间无限的反常积分——无穷积分 ①在上有定义,且对,均有若极限存在,则称在上的反常积分收敛（或存在）,且记其极限值为 此时也称在上是可积的.若原式中的极限不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散,也即发散.类似的可定义的发散. ②设是定义在上的函数,对有,若存在极限,其中为某个实数,则称在上的（反常）积分存在或收敛,且记极限值为,若式中的极限有一个不存在（包括极限为无穷的情形）,则称在上的（反常）积分发散. 注 敛散性极其数值与式中所取的点无关. ⑵无界函数的积分——瑕积分 约定 在点,若对有定义且是无界的,则称为的瑕点,也称在处无穷间断. = 1 \* GB3 ①设在上有定义,且对在点为的瑕点,若极限存在,则称在上（关于）的瑕积分收敛或存在,其极限值为此瑕积分的值,并记为；否则称反常积分发散或不存在.类似地可定义瑕点为时的瑕积分. = 2 \* GB3 ②设,且积分均为瑕积分,其中为的瑕点；或为的瑕点.若式中两个积分均收敛,则称在上的瑕积分收敛或存在,且记 ；若式中的积分至少有一个是发散的,则称在上的瑕积分发散. 注 当为瑕点时,判定的敛散性,需要计算的是两个极限式的和,而不是 3 求积分极限的方法 3.1 利用引理求含积分式函数的极限 分式的下极限是,如果积分式下极限形式（或变化后的形式）为,我们可以考虑利用引理来求解. 定理1 设在上可积,则. 例1 求 解 由于 所以 3.2 由含参量积分的连续性定理求含积分式函数的极限 在求积分式下的极限时,若被积函数是二元函数,我们可以考虑利用含参量积分的连续性定理来求解. 定理2 设在区域上连续,则函数在区间上连续.设,有 例2 求. 解 令则 定理2中,如果把中的连续变量改为正整数变量,即考虑对每个在上连续.当→→(一致收敛)时 . 例3 求. 解 由于,那么 对任意且一致收敛,则 . 3.3 利用积分中值定理求含积分式函数的极限 在求积分式下极限时,如果积分麻烦或原函数求不出来,可以考虑利用积分中值定理来求解. 定理3 （积分中值定理）如果在上连续,上可积且不变号,则存在,使得. 例4 求,其中为自然数. 解 此问题中的,由积分中值定理知,在之间存在,使得 ,所以 . 3.4 利用改进的中值定理 例5 求极限，引入如