与长方体相关的三类四面体.pdfVIP

中学生数学 ·2010年 12月上 ·第407期(高中) 学 与长方体相关的三 类 四面体 镑 基 河北省乐亭第一中学 (063600) 王作顺 础 许多立体几何 问题都可以利用几何模型 囊口 来求解 ，而 “长方体”作为其 中一种非常重要 的 ；学 几何模型是许多立几题的作图方 向．合理运用 t ● 这一几何模型往往会使问题变得非常明朗，以 D B D 下总结了三类能够补成长方体 的四面体 ，希望 C C 同学们在以后的学习中尝试应用． 图 2 图 3 类型一 ：直角四面体 例 2 如图4，已知二面角 a—AB一 的大 直角四面体是指从长方 体 中砍下一个角所得到 的几 M 小为 3O。，在卢内作AD上AB，AD=10，过点 D 作CD上d交 a于c，若 ACB一60。，求AC与 何体 (如图 1所示)．这也是与 BD 的距离． 长方体关系最明显的一类几 何体．在具体问题中我们往往 图 1 是将直角四面体补成长方体，再利用长方体 的 相关知识对问题分析求解． 例 1 (2010年唐 山市二模)过表面积为 47f的球面上一点M 作两两互相垂直 的三条 弦 MA ，MB，MC，则MA 4- 旧 +MC。一( )． 图 4 图 5 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 分析 直接 由已知条件求解 ，必须作 出两 分析 由已知条件容易求得球半径等于 条异面直线的公垂线 ，这显然难度过大，是一 1．三条弦MA，MB，MC两两垂直，所 以四面体 种不可行的解题思路．观察 四面体 ABCD不难 MABC是一个直角 四面体 ，这样我们可利用 图 发现该几何体恰好满足 “三垂四面体 ”的条件 ， 1将该 四面体补成长方体 ，由此可知 四面体 因此可将其补成长方体 (如图5所示)．这样异 MABC的外接球与长方体 的外接球是 同一个 面直线 AC与 BD 的距离可转化为AC与面 球体 ，于是 MA +MB+MC。等于该长方体对 BDE 的距离，过点C作CF垂直DE交 DE于 角线的平方即外接球直径的平方 4，故选答案 F，则 CF的长即为AC与BD 的距离．由已知 (D)． 条件容易求得 CF一 ．所 以AC与 BD 的 类型二：三垂四面体 三垂四面体是指一个 四面体 ABCD满足 鹾离为 ． AB上面BCD，BCJ_CD(具备三垂线定理的条 件)这两个条件 (如图2所示)．此类四面体的特 类型三：对棱相等的四面体 点是四个面均为直角三角形．该几何体也是长 一 个四面体共有三对相对棱组成 ，如果这 ● 方体的一部分，与之相关的问题 同样可补成长 三对相对棱分别相等则