{n^kα}稠密性的初等证明.pdf

2015年第 12期 19 { }稠密性的初等证明 天窖 天曰 } (北京大学数学科学学院2012级本科生，100871) 中图分类号：0156 文献标识码 ：A 文章编号：1005-6416(2015)12-0019—02 先介绍一个很美妙也很实用的结论(本 对任意正整数后、m、r(0≤rm)、无理数 文称为稠密性定理)： ， [nkog]中有无穷多个数模m余r． 对于无理数 ，{nkol}(k=1，2，…)在区 事实上 ，由 间(0，1)内稠密． 【注】符号说明： n = m n【】+，孔{n。) 1．[]表示不超过实数 的最大整数； Enk]=m[n】+m【{n)】． 2．{}= 一[]． 这里 ，在区间(0，1)内稠密的含义 ：对于 故[nkot]模m余r铮≤{n) ． 区间(O，1)内的任意区间(s，t)，均存在正整 数 n，使得 {nkot}∈(s，t)． 对正整数k和无理数旦使用稠密性定理 H 由此，进一步得到： 即证． 对于区间(0，1)内的任意区间(s，t)，均 稠密性定理常见的证明均使用了很多高 存在无穷多个正整数 g，使得 {gkot}∈(s，t)． 等数学的知识．最近，笔者得到了一个利用范 若只有有限多个这样的 ，设其对应的 德瓦尔登定理的初等证明． {nkot}中最小值为M，知 s，则不存在正整 范德瓦尔登定理 对于任意给定的正整 数n，使得 {not}∈(s，)，矛盾． 数N、k，总存在正整数 ，使得把数 1，2，…， 在2015年举办的第二届北京大学数学 染成J7、r种颜色时，至少存在k个组成等差数 夏令营中，有一道题 目是： 列的正整数为同一种颜色的． 证明：[n0c](n=1，2，…)中有无穷多个 在证明稠密性定理前，先证明一个引理． 偶数． 引理 对任意正整数W、n、k，有 利用稠密性定理，可证 明比此题强很多 的结论 ： n = 六，：∑(一1)Cg(w )． ‘：0 收稿 日期：2015—08—27 证明 考虑多项式 )= 在k+1个 本文作者曾获得第53届 IMO金牌． 点W+in(O≤i≤ )处的取值． 化简即得对于任意实数 ，有 )= 域和值域进行赋值的方法．恰当的赋值，是打 经验证 ，．厂()= 或 )=2-x(x∈R)． 开思路、解决问题的关键．