第一课3.doc

第二章 矩阵 根据资料记载, 矩阵的概念是1850年首先由西尔维特斯(J.J.Sylvester)提出来的, 1858年凯莱(A.Cayley)建立了矩阵运算规则, 矩阵的理论逐渐成为数学的一个重要分支, 在自然科学、工程技术、计算机图形学和现代经济学等领域中得到广泛的应用. 本章主要介绍矩阵的概念和运算, 并讨论矩阵运算的一些基本性质. §2.1 矩阵的概念 定义2.1.1 由数域中的个数按照一定的次序排成的行列的矩形表称为上的行列矩阵，简称矩阵. 记为 其中称为矩阵的第行第列位置上的元素. 说明： (1) 矩阵是一个由数构成的数表，它与上一章定义的行列式有着本质的区别. 行列式表示的是一个数，而矩阵是一个表. (2) 矩阵通常用大写英文字母表示, 为了简便起见, 常将定义2.1.1中的矩阵记为, 这里的写在前面表示共有行, 写在后面表示共有列, 称为矩阵的元素, 前一个足标表示这个元素在第行, 后一个足标表示这个元素在第列. 矩阵的元素通常用小写英文字母表示或直接用数字表示. (3) 如果矩阵中的元素全是实数，则称之为实矩阵； 如果的元素为复数，则称之为复矩阵. 在详细介绍矩阵之前，我们先举几个例子说明矩阵思想与方法的应用是非常广泛的. 例2.1.2 (消耗定额) 生产种产品需要种原料, 用表示生产1个单位的第种产品时耗用第种原料的定额, ，则有下面的消耗定额表： 定额 材料 产品 1 2 4 1 2 上表可以用下面的消耗定额矩阵来简单表示： 矩阵完全描述了生产过程中产出的产品与投入的原料之间的数量关系. 例2.1.3(关联矩阵) 考虑下面的图，设其顶点为，边为.若第条边与第个顶点关联，则令，否则，令. 图 这样就可以得到如下矩阵： 其中第一行的1表示对应的边(边)与顶点1关联，0表示对应的表(边)与顶点1不关联，因此与顶点1关联的边的集合为. 同样与顶点2关联的边的集合为等. 例2.1.4(计算机图形学) 下图中的大写字母由8个点或顶点确定, 这些点的坐标可存储在一个数据矩阵中 原始图形 变换后图形 则 经过剪切变换得到新的图形如下，其新的坐标矩阵为 从上述几个例子可以知道,矩阵的应用是非常广泛的. 下面我们介绍几类特殊的矩阵. (1) 当时,矩阵为,称为行矩阵或行向量； 当时矩阵为,称为列矩阵或列向量. (2) 当时,矩阵称为方阵,并且把从左上角到右下角的斜线称为矩阵的主对角线. (3) 在方阵中，若除了主对角线上的元素外其余元素都等于零, 此时矩阵的形状为： 称为对角矩阵,简记为. (4) 若，此时 称为数量矩阵. 特别地,若,则,称为单位矩阵.通常记为. (5) 在方阵中，若它的主对角线以下元素全部为零，即它具有形状： 则称为上三角矩阵. 同样地, 若它的主对角线以上元素全部为零，则称为下三角矩阵, 它具有形状： (6) 对于一般的矩阵,如果其元素全部等于零,则称为零矩阵,记为.在不引起误解的情况下就简记为. §2.2 矩阵的运算 初等代数是研究数及其运算的学科,而现在我们研究的的是矩阵,自然我们也有必要讨论它的运算问题,所以我们先要定义矩阵的运算.在给出各运算的定义之前,我们先给出矩阵相等的概念. 定义2.2.1 如果两个矩阵的行数相等,列数也相等,则称它们是同型矩阵.如果两个同型矩阵的对应元素相等,即 则称矩阵与相等,记为. 1 矩阵的线性运算 定义2.2.2 设,矩阵与的加法记作,规定为 称为与的和，即 数与矩阵的乘积,简称数乘,记作,规定为 即 以上运算称为矩阵的线性运算. 说明：当时, ,称为的负矩阵.于是可以定义矩阵的减法,记作,规定为: . 矩阵的线性运算满足以下的运算规律(设都是矩阵,和是数): (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ； (7) ； (8) . 例2.2.3已知 求 解： 例2.2.4 设 求满足的矩阵. 解：通过移项及合并，整理得 将带入上式计算，得 2 矩阵的乘法 为了定义矩阵的乘法,我们先看一个例子: 例2.2.5 假设牛肉、羊肉、鸡蛋的价格在一周之内不发生变化，记录近三周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格，得到如下价格矩阵（单位：元/千克） 其中的第行表示第周牛肉、羊肉、鸡蛋的价格,.设某个家庭每周对牛肉、羊肉、鸡蛋的需求量分别是3千克、4千克、2千克.下面的矩阵表示需求量: 这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为: 第一周: 元； 第二周: 元； 第三周: 元. 这个计算过程可以用如下矩阵形式来表示: 定义2.2