10 Partial Di erential Equations and Fourier （10偏Di为方程和傅里叶）.pdfVIP

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2017-08-11 发布于浙江
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10 Partial Di erential Equations and Fourier （10偏Di为方程和傅里叶）

FOURIER ANALYSIS: LECTURE 17 10 Partial Di↵erential Equations and Fourier methods The ﬁnal element of this course is a look at partial di↵erential equations from a Fourier point of view. For those students taking the 20-point course, this will involve a small amount of overlap with the lectures on PDEs and special functions. 10.1 Examples of important PDEs PDEs are very common and important in physics. Here, we will illustrate the methods under study with three key examples: 2 2 1 @ The wave equation : r = c2 @t2 (10.205) 2 1 @ The di↵usion equation : r = (10.206) D @t h¯2 2 @ Schr¨odinger’s equation : r + V = ih¯ (10.207) 2m @t These are all examples in 3D; for simplicity, we will often consider the 1D analogue, in which (r , t) 2 2 2 depends only on x and t, so that r is replaced by @ /@x . 10.1.1 The wave equation A simple way to see the form of the wave equation is to consider a single plane wave, represented 2 2 2 2 2 by = exp[i(k · x !t)]. We have r = k , and (@ /@t ) = ! . Since !/|k | = c, this one mode satisﬁes the wave equation. But a general