计算机数学基础数值分析部分辅导.DOC

《计算机数学基础》数值分析部分第一单元辅导 一、重点内容 绝对误差――设精确值x*的近似值x， 差e=x－x*称为近似值x的绝对误差(误差)。 绝对误差限――绝对误差限(是绝对误差e绝对值的一个上界，即。 相对误差er――绝对误差e与精确值x*的比值，。常用计算。 相对误差限――相对误差er绝对值的一个上界，，常用计算。 绝对误差限和相对误差限的估计式： 有效数字――如果近似值x的误差限(是它某一个数位的半个单位，我们就说x准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x的有效数字。 关于有效数字： (1)设精确值x*的近似值x， a1,a2,…,an是0～9之中的自然数，且a1(0， 则x有l位有效数字. (2)设近似值有l位有效数字，则其相对误差限 (3) 设近似值的相对误差限不大于 则它至少有l位有效数字。 (4) 要求精确到10－k(k为正整数)，则该数的近似值应保留k位小数。 二、实例 例1 设x*= (=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是 －0.001 592 6…，有 即l=3，故x=3.14有3位有效数字。x=3.14准确到小数点后第2位。 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,l＝5，x=3.1416有5位有效数字。 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,l＝4，x=3.1415有4位有效数字。 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解 因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,l=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，l=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限(r==0.002 5 x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, l=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限(r＝＝0.000 056 x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，l=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为(r=(r＝＝0.000 000 56 由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的。 例3 ln2=0，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是(＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2(0.693 三、练习题 1. 设某数x*，它的保留三位有效数字的近似值的绝对误差是 。 2. 设某数x*,它的精确到10－4的近似值应取小数点后 位。 3. ( )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 235.54×10－1 (B) 235.418 (C) 2354.82×10－2 (D) 0.0023549×103 4. 设a*=2.718181828…，取a=2.718,则有( ),称a有四位有效数字。 (B) (C) (D) 5. 设某数x*,对其进行四舍五入的近似值是( ),则它有3位有效数字，绝对误差限是 (A) 0.315 (B) 0.03150 (C) 0.0315 (D) 0.00315 6. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为的数是( )。 (A) 0.01234 (B) –12.34 (C) –2.20 (D) 0.2200 7. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差。 (1) 2.1514 (