欧拉定理的发现与证明.DOCVIP

多面体欧拉定理的发现 【新课引入】 让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。看一看能否找到一些规律. 【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数. 【新课讲解】 1.尝试猜想: 以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。 多面体 顶点数 面数 棱数 规律 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2 教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F(E=2 【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到 一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。 2．介绍欧拉 （利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟) 欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数 学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功 不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。既使在 他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。 【注】更多介绍见最后【阅读材料】。 【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展. 3．构造反例 先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导 演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中 情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1 情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2 情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3 情况4：侧面两个四棱锥挖掉 多面体 顶点数 棱数 面数 顶点数+面数(棱数 图1 图2 图3 图4 【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。 4．简单多面体概念的引入 提问: 图3中的多面体与我们学过的多面体有什么不同？ 教师指出：欧拉研究多面体有一种创意，那就是假设它的表面是用 橡胶薄膜做成的，然后充气，在连续变形且不破裂的前提下，把 平面变成了曲面。（多媒体演示）教师顺势得出简单多面体的概念。 5．完善猜想 如何修正猜想? 【设计意图】自然地引入简单多面体概念,同时让学生发现欧拉公式的适用范围,从而完善猜想.通过多媒体动态演示可以更好地理解简单多面体地概念. 6．构建平台1：分析欧拉公式：V+F-E=2 若棱数和面数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？ 若棱数和顶点数都减少相同的数值，则V+F-E的值改变吗？ 7．构建平台2： （1）让学生探求平面图形的V+F-E的值 学生探讨： 1.图形中每增加一个顶点，V+F-E的值为多少 2.图形中每减少一个顶点，V+F-E的值为多少 3.图形中每减少一条棱， V+F-E的值为多少 4.图形中每增加一个面， V+F-E的值为多少 8．欧拉公式的证明 提问：现在给你任意一个简单多面体（如下图1），假想它的面也是用橡胶薄膜做成的,内部是空的. 如何证明V+F-E=2？（学生很可能回答不出来，此时教师可进行适当的引导） 教师引导1：拉成平面图后（图2） ，它的V+F-E的值为多少？如何证明平面图的V+F-E=1？能不能通过减少棱数来实现呢？ 教师引导2：在平面图2中,若去掉它周围的一条棱,)此时V+F-E有变化吗? 这样可以逐步把 “周围”的棱一 一去掉,同时保持V+F-E的值不变. 最后剩下什么图形(如图8),此时V+F-E的值为多少?( V+F-E=1) 【设计意图】通过平台1引导学生探讨欧拉公式，其目的是让学生明白同时减少棱数，面数或同时减少棱数，顶点数，V+F-E的值不变。 通过平台2让学生自主的探讨平面图形的点，线，面的关系，其目的是让学生明白平面图形的V+F-E＝1，空间问题平面化。如果学生提出其它证法，可以讨论，辨别后作出评价。 9.归纳反思 （1）欧拉公式的探索过程:发现－猜想－再发现－完善猜想－证明猜想 （2）新的几何领域：拓扑学 10. 欧拉公式的另一证明 把“立体图”的面煎掉后，其余