常微分方程在库存系统中的应用.PDFVIP

常微分方程应用分析 F0812002 5081209062 刘通 （安泰 MIS 专业） 常微分方程在库存系统中的应用实例 常微分方程对于库存系统的分析有很大的应用。为了便于说明，这里给出一个相对具体的例 子。通常的库存系统，如一个分销商，有进货和出货两种基本的商业活动。进货速率不如这 里设定为DA ，出货速率这里设定为Sale。出货的速率比较容易理解，完全是由于市场条件 来控制的，有可能是一个常量，当然也有可能是随机分布的。无论如何，出货速率相对是一 个外部变量，与库存系统本身无关，不由分销商控制。而进货系统就相对比较复杂。订单量 的大小取决于库存现有量和期望量之间的差额。便于分析，这里另库存现有量为 IL ，库存 期望量为DIL 。 我们容易得到： dIL DA SALE （库存的变化量为进货速率与出货速率的差额） （1） dt TL DA （TL 为在途库存量） （2 ） （LT 是平均订货提前期） LT dTL order DA （在途库存量的变化率与其对应的流入速率和流出速率有关） （3 ） dt DIL IL order （AT 是人们对库存偏差调节的紧急程度，称为库存调节时间） （4 ） A T 注意： LT 是客观变量，取决于交通运输能力。AT 是主观变量，取决于管理者对于订货活动的具体 操作，可以适当调节提前订货时间。 （当发生订单order 时，体现为在途库存流入；分销商仓库的进货速率即为相应的在途库存 的流出速率，因此可以用DA 来表示） 通过以上三式化简可得： 2 d IL 1 dIL IL DIL   dt2 LT dt AT LT AT LT 将IL 看做因变量，时间t 看做自变量，可以发现构成了一个二阶线性非齐次微分方程。初 值根据具体问题具体分析。 那么下面分析该微分方程的特征方程： 2 1 1 r  r  0 LT AT LT 根据LT 和AT 的具体值，特征根会有三种情况： （1）A T 4 LT 时： 特征方程有两个不等实根r1,r2 。 r t r t 对应齐次方程解为：IL C e 1 C e 2 1 2 （2 ）A T 4 LT 时： 特征方程有两相等实根 对应齐次方程解为：IL (C C t )ert 1 2 （3 ）A T 4 LT 时： r i 因此对应齐次方程解为：IL [C1 cos(t ) C 2 sin(t )]et 下面讨论稍微具体一点的问题。不妨设目标库存为500. IL=1. 来讨论AT 分别为8，4 ，2 时 候的情况。为了方便分析，考虑sale 为一常量，不会随着市场发生波动。这里设为20. (1) 当AT 的值为8 时。有特征方程为： 2 1 r r  0 8 相应特征值为： 1 2 r   2 4 此时方程有非齐次方程有特解：IL=340 1 2 1 2 ( ) ( )   t   t 2 4 根据初值可得方程的通解为：I