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切割线面体的数学期望
切割线、面、体的数学期望 切割线切割线、面、面、、体的数学期望体的数学期望 切割线切割线、、面面、、体的数学期望体的数学期望 参赛队员 李磊 黄宸基 章超 Lei Li Chenji Huang Chao Zhang 指导老师 刘炜 Guided by Wei Liu 参赛学校 江苏省苏州中学 Suzhou High School of Jiangsu Province ·第1 页 共 36 页 切割线、面、体的数学期望 摘要摘要 摘要摘要 在本论文中,我们研究了如下的问题, 将一条长为1 的线段随机切成n 段,并从小到大排列,求第k 长的 线段的数学期望.我们的结论如下: 1 n 1 ∑ 定理1 切割长为1 的线段成n 段,从小到大排列第k 段的数学期望为n i= n− k +1 i n 以这个问题为基础,我们将其推广至更高维数的情况.如果我们将切割期望定义为将 中图形切割一 次后较小部分的n -维测度的数学期望,将切割期望比定义为切割期望与该图形n -维测度之比,那么我们 又得到了如下的结论与猜想. 定理2 任意三角形的其切割期望比为定值. 定理3 任意平行四边形的切割期望比与该平行四边形的四个内角大小无关. 定理4 菱形的切割期望在任意平行四边形的切割期望比中最小. 猜想1 随着n 增大,正n 边形的切割期望比逐渐减小. 猜想2 n -单纯形的切割期望比为定值. ·第2 页 共 36 页 切割线、面、体的数学期望 ABSTRACT In this paper, we consider the expected value of the shortest of n small segments ,which are randomly divided from a segment. Based on this research, we discuss the similar problem in two-dimensional plane and three-dimensional space ,then get some results.
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