一元函数的积分.docVIP

第四章 一元函数的积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 5、理解原函数概念、不定积分的概念。 6、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法(第一，第二)与分部积分法。 7、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 8、理解元素法的基本思想； 9、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 10、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 4、不定积分的概念； 5、不定积分的性质及基本公式； 6、换元积分法与分部积分法； 7、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积； 8、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 5、换元积分法； 6、分部积分法； 7、三角函数有理式的积分； 8、截面面积为已知的立体体积； 9、引力。 定积分的引入 4.1.1 定积分的定义 一. 定积分的实际背景 我们通过两个实例来引入定积分的定义. 曲边梯形的面积 若函数在区间上非负连续，则称由直线及曲线所围成的图形为曲边梯形（见图4-1），曲线弧为曲边梯形的曲边. 图4-1 图4-2 怎样求曲边梯形的面积?最初的方法是利用割补原理求出其近似值，这种方法虽然不能解决根本问题，但给我们一种启示：可采用分割的方法将曲边梯形分成无数个小曲边梯形，当分割无限细时，小曲边梯形的面积就无限接近小矩形的面积，再用这些小矩形的面积之和来代替原曲边梯形的面积，具体做法如下（见图4-2）. 分割：设，，令 在与之间任意依次插入个分点，则区间被分割成个小区间，，记每个小区间的长度为. 近似：在每一小区间上任取一点，用小矩形的面积来近似代替以为底的小曲边梯形的面积，即. 求和：把个小曲边梯形面积的近似值相加得曲边梯形的面积A的近似值，即 . 取极限：令，则. 变速直线运动的路程 物体做直线运动，其速度是时间段上的一个连续函数，且，现在来求物体在这段时间内所走过的路程. 解决这个问题的思路、步骤和问题1中求曲边梯形的面积相似。当物体做匀速运动时（是常量），在这段时间内所走过的路程；但当物体做变速运动时，速度是时间的函数，就不能再用公式来计算。但由于是上的连续函数，当时间间隔很小时，速度的变化也非常的小，在该段时间内可以近似地看成物体做匀速运动.这样，可将时间段分成许多小段，在每一小段上视物体做匀速运动，相应地求出每一小段上物体所走路程的近似值，再把这些近似值相加就可得到总路程的一个近似值，当这种分割无限细时，这个近似值与总路程的精确值无限接近。方法如下（见图4-3）： 图4-3 分割：在时间间隔中任意依次插入个分点，则被分割成个小时间段，记每个小时间段的长度为. 近似：在每一小时间段内物体可看成做匀速运动，在上任取一点，若在上物体所走路程为，则. 求和：把个时间段上路程的近似值加起来，就得到物体在时间段内所走路程的近似值，即. 取极限：显然,当分割无限细时,误差将无限小;令,则. 二. 定积分的概念 以上两个例子一个是几何问题, 一个是物理问题, 但解决的方法都是一样的, 即都采用分割、近似、求和、取极限的方法.利用这种方法，可解决其它学科如生物学、经济学等的类似问题。因此，有必要将这种方法抽象成数学概念，从而得到定积分的定义. 定义4.1 设函数在区间上有定义，任取分点 ， 把区间分成个小区间，记 ， 再在每个小区间上，任取一点，取乘积的和式，即． 如果时上述极限存在（即这个极限值与的分割方法及点的取法均无关），则称函数在闭区间上可积，并且称此极限值为函数在上的定积分，记做，即 ， 其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，与分别称为积分下限与积分上限，符号读做函数从到的定积分． 有了这个定义，前面两个实际问题都可用定积分表示为：