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考研高数讲义 新高等数学下册辅导讲义——第十二章
第十二章 无穷级数
【本章网络结构图】
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的收敛与发散
给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数的一般项, 级数的前项和称为级数的部分和。若存在，则称无穷级数收敛，并称为级数的和, 记作；若不存在，则称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数的余项。显然。
【例1】（93三）级数的和为 .
【答案】
结论：等比（几何）级数 ：收敛 当时
发散 当时
二、收敛级数的和
若收敛，则其和定义为。
三、无穷级数的基本性质
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收敛，则级数（ ）
（A）收敛. （B）收敛.
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收敛. （D）收敛.
答案：（D）
4、（05三）设若发散，收敛，则下列结论正确的是
收敛，发散.
（B）收敛，发散.
（C）收敛.
（D）收敛.
答案：（D）
5、（03三）设则下列命题正确的是
若条件收敛，则与都收敛.
若绝对收敛，则与都收敛.
若条件收敛，则与敛散性都不定.
若绝对收敛，则与敛散性都不定.
答案：（B）
（04一）设有方程其中为正整数.证明此方程存
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的收敛域及和函数.
答案：收敛域为，
学习笔记：
（1）（2）
答案：（1）
（2）
函数展开成幂级数
1、（07三）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.
答案：
2、（06一）将函数展开成的幂级数。
答案：
12、（03一）将函数展开成的幂级数，并求级数的和.
答案：；
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必要条件
不满足
发散
满足
比值审敛法
根值审敛法
收敛
发散
不定
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