国家集训队2009论文的集分治算法在树的路径问.pdfVIP

IOI2009 中国国家集训队论文 长沙市雅礼中学 漆子超 分治算法在树的路径问题中的应用 【摘要】 树作为一类特殊的数据结构，在信息学中有着极为重要的作用， 各类关于树的题目在竞赛中更是屡见不鲜。本文选取了近几年出现的 关于树的路径的题目，并结合例题讲解了分治算法在此类问题上的应 用。 【关键字】 树 路径 路径剖分 分治 数据结构 1 IOI2009 中国国家集训队论文 长沙市雅礼中学 漆子超 【目录】 【序言】3 【正文】4 一.树的分治算法4 基于点的分治：4 基于边的分治：4 效率分析：5 【例1】树中点对统计8 算法分析8 【例2 】Free Tour 2 10 算法分析 10 【本节小结】 13 二．树的路径剖分算法： 14 【例3 】Query On a Tree 14 算法分析 14 引入路径剖分 14 轻重边路径剖分 15 【例4 】黑白树 17 算法分析 17 【小结】 18 路径剖分与树的分治的联系： 19 【例5】Query On a Tree Ⅳ20 算法分析20 【本节小结】23 三．树的分治的进一步探讨：24 如何改进基于边的分治的时间复杂度24 使用基于边的分治解决【例2 】26 使用基于边的分治解决【例5 】27 四．全文总结28 【参考文献】29 【感谢】29 【附录】29 2 IOI2009 中国国家集训队论文 长沙市雅礼中学 漆子超 【序言】 树被定义为没有圈的连通图，具有以下几个性质： 1. 在树中去掉一条边后所得的图是不连通的。 2. 在树中添加一条边后所得的图一定存在圈。 3. 树的每一对顶点U 和V 之间有且仅有一条路径。 由于树具有一般图所没有的特点，因此在竞赛中有着更加广泛的 应用，尤其是关于树中路径的问题，即一类以路径为询问对象的题目， 更是频繁的出现在各种比赛中，每一个有志于OI 及ACM 的选手都 应该掌握这类问题的算法。 分治，指的是分而治之，即将一个问题分割成一些规模较小的相 互独立的子问题，以便各个击破。我们常见的是在一个线性结构上进 行分治，而在本文中我们将会讲解分治算法在树结构上的运用，称之 为树的分治算法。 分治往往与高效联系在一起，而树的分治正是一种用来解决树的 路径问题的高效算法。 下面让我们一起来感受树的分治算法的美妙吧。 3 IOI2009 中国国家集训队论文 长沙市雅礼中学 漆子超 【正文】 一.树的分治算法 下面给出树的分治算法的两个常见形式： 基于点的分治： 首先选取一个点将无根树转为有根树，再递归处理每一颗以根结 点的儿子为根的子树。 基于边的分治： 在树中选取一条边，将原树分成两棵不相交的树，递归处理。