计算方法-卫宏儒老师.docx

2013级研究生《计算方法》作业姓名：学号：专业：学院：成绩：__________________任课教师：数理学院卫宏儒 2013年11月9日作业一：1、计算下列向量的1-范数、-范数、2-范数。(1)(2)解：(1)算法：，，程序：x=[12,-4,-6,2];norm(x,1)norm(x,inf)norm(x,2)程序运行截图：所以的1-范数、-范数、2-范数分别为：24、12、14.1421。(2)算法：，，程序：x=[1,3,4];norm(x,1)norm(x,inf)norm(x,2)程序运行截图：所以的1-范数、-范数、2-范数分别为：8、4、5.0990。2、计算下列矩阵的行范数、列范数、谱范数、F范数。(1) (2) ,解：(1)算法：，，，程序：x=[3 -1 1;1 1 1;2 1 -1];norm(x,inf)norm(x,1)norm(x,2)norm(x,fro)程序运行截图：所以的行范数、列范数、谱范数、F范数分别为5,6,3.788,4.4721。(2) ,取a=2;算法：，，，程序：A=[0 2;-20];norm(A,inf)norm(A,1)norm(A,2)norm(A,fro)程序运行截图：所以，当a=2的行范数、列范数、谱范数、F范数分别为2,2,2,2.8284。作业二：用牛顿迭代法求方程在附近的根。要求:给出程序和运行结果，计算结果保留4位有效数字。解：算法：设pn是方程f(x)=0的一个近似根，将f(x)在pn处展开取展开的线性部分近似f(x)，得近似的线性方程：设，令上式的解为pn+1，得：此式称为牛顿迭代法。设定初值p0，最大迭代步数N，误差限Tol，近似根p1，迭代步数k，则程序：syms x; f=x^3-3*x-1; df=3*x^2-3;p0=2;N=1000;Tol=1e-5;for k=1:N p1=p0-subs(f/df,x,p0);if abs(p1-p0)Tol break endp0=p1;enddisp(p1);disp(k);程序运行截图：所以由程序运行结果知：当迭代4次时，方程的解为1.879，已经满足精度要求。作业三：1、编写高斯顺序消元法求解下面方程组的程序及并计算结果。算法：高斯顺序消元法的基本思想是将线性方程组通过消元逐步转化为等价的上（或下）三角形方程组，然后用回代法求解，记A（0）=A,b(0)=b,则方程组记 为A（0）x=b(0)。利用回代法求解上三角方程组，即得方程组的解为： 按照上述消元过程计算出全部系数，再由回代法计算方程组的解。程序：A=[10 -1 -1;-1 10 -2;-2 -1 5];b=[6.2 8.5 3.2];n=3;B=[A,b];for k=1:n-1if B(k,k)==0disp(Gauss 消元法失败);returnendfori=k+1:n m=B(i,k)/B(k,k); B(i,k:n+1)=B(i,k:n+1)-m*B(k,k:n+1);endendX(n)=B(n,n+1)/B(n,n); fori=n-1:-1:1 X(i)=(B(i,n+1)-B(i,i+1:n)*X(i+1:n))/B(i,i);enddisp(X)程序运行截图：所以由程序运行结果知：经高斯顺序消元法得到线性方程组的解为：，，。作业四：1、编写Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解上述方程组的程序，并计算出结果。精度要求：解：算法：将Ax=b的系数矩阵A作如下分解，则可得到jacobi迭代格式的向量形式。设A=L+D+U,其中D=diag[a11,a22,……ann],则线性方程组就转化为（L+D+U）x=b,即有此式可简记为,上式称为jacobi的不动点方程的矩阵形式，选取初向量就可得到jacobi迭代格式的向量形式。(1)Jacobi迭代程序： A=[10 -1 -1;-1 10 -2;-2 -1 5];b=[6.2 8.5 3.2];n=3;Tol=1e-3;N=1000;X0=[0 0 0];X=X0;for k=1:Nfori=1:nX(i)=(b(i)-A(i,:)*X0)/A(i,i)+X0(i); if norm(X-X0)Toldisp(X);disp(k);return;end X0=X;endend程序运行截图：由运行结果显示，经5次Jacobi迭代之后，、得到满足精度要求的线性方程组解（0.8599,1.1792,1.215）T。解：算法：在迭代过程中尽快用新的信息去替换，则可望收敛更快。由此：此式即为Gauss-Seidel迭代。(2)高斯赛德尔迭代程序：A=[10 -1 -1;-1 10 -2;-2