第四章 态与力学量的表象1.2.ppt

作 业 证明: 例:求坐标表象中算符F的矩阵元 筛选性原理 例： 求动量表象中F的矩阵元 如果Q的本征值既包含分立谱又包含连续谱，则Q表象中任何表示算符的矩阵既包含可数的行列，又包含连续不可数的行列 §3 量子力学公式的矩阵表述 为简化起见，本节我们只举Q的本征值只构成分立谱的例子，其他一般情况结果类似。 坐标表象下的平均值公式 现在我们想知道在Q表象中的平均值公式 我们知道任意波函数可被Q的本征函数 展开为如下形式： 展开式 对应共轭式 代入平均值公式 （一）平均值公式 式右写成矩阵相乘形式 简写成 坐标表象 Q表象 坐标表象下的本征值方程 在上一节我们已经知道，在Q表象中这类方程可直接写成矩阵的形式 （二）本征方程 把等号式子移到左边 * 第四章 态和力学量表象 §1 态的表象 到目前为止，体系的状态基本上都用坐标(x,y,z)的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。 波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。 表象：量子力学中态函数（波函数）和力学量算符的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。 在坐标表象中，体系的状态用波函数Ψ(x,t)描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。 动量本征函数： 组成完备系，任一状态Ψ可按其展开 展开系数 （一）动量表象 假设 Ψ(x,t) 是归一化波函数，则 C(p,t) 也是归一化。 C(p,t) 物理意义 Ψ(x,t) 与 C(p,t) 一 一 对应，描述同一状态。 Ψ(x,t)是该状态在坐标表象中的波函数； 而 C(p,t)就是该状态在动量表象中的波函数。 |Ψ(x,t)| 2dx 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x → x + d x 范围内的几率。 |C(p,t)| 2 d p 是在Ψ(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p → p + d p 范围内的几率。 若Ψ(x,t)描写的态是具有确定动量 的自由粒子状态，即平面波： 则相应动量表象中的波函数： 所以，在动量表象中，具有确定动量 的粒子的波函数是以动量 p为变量的δ函数。 换言之，动量本征函数在自身表象中是一 个δ函数。 展开式 同理，坐标本征函数在自身表象下其实就是δ函数 这可以有如下的本征值方程来证明： （二）力学量表象 推广上述讨论： x, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象， 因此可以对任何力学量Q都建立一种表象，称为力学量 Q 表象。 那末，在任一力学量Q表象中， Ψ(x,t) 所描写的态又如何表示呢？ 我们将提出问题 根据量子力学基本假定，当粒子处于状态 时，坐标位置确定，为 其实这个问题，自上一章讨论波函数展开系数的物理意义时已经有所提及。 我们将分两种情况回答这个问题 （1）具有分立本征值的情况 （2）含有连续本征值情况 设算符Q的本征值为：Q1，Q2, ..., Q，...，相应本征函数为：u1(x),u2(x),...,un(x),...。 将Ψ(x,t)按Q的本征函数展开： 若Ψ, un都是归一化的，则 an(t) 也是归一化的。 （1）分立谱情况 证： a1(t), a2(t), ..., an(t), ...就是Ψ(x,t)所描写状态在Q表象中的表示。 由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的状态中测量Q得到本征值Qn的几率。 转置共轭矩阵 归一化可写为 写成矩阵形式 注意：这里的 是列矩阵，不是函数 同样若 , 都是归一化的，则 也是归一化的。关于这个结论的证明见上一章的讲义。 （2）只含有连续本征值情况 假如力学量Q的本征值谱只包含连续谱，本征值为q，对应本征函数为 则任意波函数按Q的本征函数展开为 根据上一章量子力学基本假定，|aq(t)|2dq 是在Ψ(x,t)描述的态中测量力学量Q所得结果在q→q+dq之间的概率。 即 展开系数 我们也可以同刚才一样把状态写成是列矩阵的形式，即 此时转置共轭矩阵为 此时归一化式也可以写成为矩阵相乘的形式 注意：这里 被视为列矩阵中的一个元素。只不过因为q是连续的，因此我们不能把每一项元素分开写成一个明显的列矩阵形式 这是个元素不能分开的行矩阵 在Q表象中，由 描述的状态被表示为 例如动量表象下的波函数c(p,t)就是这类表示，其实我们最常使用的坐标表象下的波函数