概率论与数理统计第五章5.6 极限定理简介.ppt

一、问题的引入 三、典型例题 广东工业大学 广东工业大学 广东工业大学 §6 极限定理简介 本章要解决的问题 为何正态分布在概率论中占 有极其重要的地位？ 中心极限定理 实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和, 这些因素包括: 瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等) 的误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、风向、能见度、温度等) 的作用, 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且它们中每一个对总和产生的影响不大. 问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 定 理 一 棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace) [ 二项分布以正态分布为极限分布 ] §5.2 定 理 二 林德伯格-列维中心极限定理 [ 独立同分布的中心极限定理 ] (Lindberg-levi) 德莫佛 拉普拉斯 定理六(德莫佛－拉普拉斯定理) 正态分布是二项分布的极限分布, 当n充分大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率. 书例26:假设一批种子的良种率为1/6，从中任意选出600粒，试计算这600粒种子中良种所占比例与 1/6之差的绝对值不超过0.02的概率。 由德莫佛-拉普拉斯定理 解： 近似~N(0,1) 定理7（独立同分布的中心极限定理） 它表明，当n充分大时，n个具有期望和方差 的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布. 定理7表明: 随机变量 近似地服从于正态分布 特别地，当ξi 为(0,1)分布时，即为棣莫佛－拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）。 解 由定理四, 随机变量 Z 近似服从正态分布 N (0,1) , 例1 其中 5.6.2 大数定律 为何能以某事件发生的频率 作为该事件的 概率的估计？ 为何能以样本均值作为总体 期望的估计？ 大数 定律 2 . 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 切比雪夫不等式 的等价形式 =0.75 =0.8889 1. 设随机变量X的方差D(X)=0.0001, 则由切比雪夫不等式可知 P{|X-E(X)|3×0.01}≥( ). 课堂练习 2. 设随机变量X的数学期望为μ, 标准差为σ,则由切比绍夫不等式 P{|X-μ|≥3σ}≤( ). 大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生 的次数, p 是每次试验中 A 发生的概率, 则 有 或 大数定律 在概率的统计定义中, 事件 A 发生的频率 “ 稳定于”事件 A 在一次试验中发生 的概率是指： 频率 与 p 有较大偏差 是 小概率事件, 因而在 n 足够大时, 可以用频 率近似代替 p . 这种稳定称为依概率稳定. 贝努里(Bernoulli)大数定律的意义 Chebyshev 大数定律 相互独立， 设 r.v. 序列 (指任意给定 n 1, 相互独立) 且具有相同的数学期望和方差 则 有 或 定理的意义 当 n 足够大时, 算术平均值几乎是一常数. 具有相同数学期望和方差的独立 r.v.序列的算术平均值依概率收敛于数学期望. 算术 均值 数学 期望 近似代替 可被 例29(P158)) 解: 设每日看电影的人数依次排号为 1,2, …,1600,且令 由棣莫弗－拉普拉斯定理可得