概率论与数理统计课件04F 重要分布.ppt

第四章 重要分布Ⅲ 1. 正态分布的实际背景和数学模型 2. 正态分布的数字特征 3. 标准正态分布与正态分布的关系 4. 正态分布与Г-分布的关系。 引理：普阿松积分公式 定义 如果连续型随机变量x的概率密度为 其中s,m为常数, 并且s0, 则称x服从正态分布, 简记作x~N(m,s2). 利用引理可以验证Ex=m, Dx=s2 特别地, 当m=0, s=1时, 称x服从标准正态分布, 记为x~N(0,1).其概率密度记为j0(x), 且 验证Ex=m 验证Dx=s2 j0(x)的图形 j0(x)除一般概率密度的性质外, 还有下列性质(1) j0(x)有各阶导数(2) j0(-x)=j0(x), 偶函数(3) 在(??,0)内严格上升,在(0,??)严格下降.在x=0 处达到最大值: (4) 在x=?1处有两个拐点; (5) x轴是j0(x)的水平渐近线 可用书后附表二查出j0(x)的各个值 例1 x~N(0,1), 求j0(1.81), j0(-1), j0(0.57), j0(6.4), j0(0). 解 查书后附表二可得 j0(1.81)=0.07754 j0(-1)=j0(1)=0.2420 j0(0.57)=0.3391 j0(6.4)=0 j0(0)=0.3989 一般正态分布与标准正态分布的关系 1. 如果x~N(m,s2), h~N(0,1), 其概率密度分布记为j(x)和j0(x), 分布函数分别记为F(x)及F0(x), 则 证 2. 如果x~N(m,s2), 而h=(x-m)/s, 则h~N(0,1) 证: 为证明h~N(0,1), 只要证明h的概率密度为j0(x)或分布函数为F0(x)即可. Fh(x)=P(h?x)=P((x-m)/s?x) =P(x?sx+m)=F(sx+m)=F0(x) 可以证明, 服从正态分布的随机变量x, 它的线性函数kx+b(k?0)仍服从正态分布. 标准正态分布函数表 如果x~N(0,1), 则对于大于零的实数x, F0(x)的值可以由附表三直接查到. 而对于小于零的x则可通过对称性来求得. 例2 x~N(0,1), 求P(x?1.96), P(x?-1.96), P(|x|?1.96), P(-1x?2), P(x?5.9). 概括起来, 如果x~N(0,1), 则 例3 x~N(8,0.52), 求P(|x-8|1)及P(x?10) 例4 x~N(m,s2), P(x?-5)=0.045, P(x?3)=0.618, 求m及s 正态分布与G-分布的关系3. 如x~N(0,1), 则x2~?2(1) 推论：如果x1,x2,...,xn相互独立, 且xi~N(0，1), (i=1,2,...,n),则 x1+x2+...+xn~c2(n） 推论(需要记住)：如果x1,x2,...,xm相互独立, 且xi~c2(ni), (i=1,2,...,m), 则 x1+x2+...+xm~c2(n1+n2+...+nm) F分布的定义: 若连续型随机变量x的概率密度j(x)为 1994年经济类研究生试题 解 1995年经济类研究生试题 解 1997年经济类研究生试题 1999年经济类研究生试题 设随机变量X服从参数为l的泊松分布, 且已知E[(X-1)(X-2)]=1, 则l=_____ 提示: EX=DX=l, 且 EX2=(EX)2+DX=l2+l, l=1 1999年经济类研究生试题设随机变量Xij(i,j=1,2,...,n;n?2)独立同分布, EXij=2, 则行列式 2000年经济类研究生考研题设随机变量X在区间[-1,2]上服从均匀分布; 随机变量 解 1998年经济类研究生试题 设一次试验成功的概率为p, 进行100次独立重复试验, 当p=____时, 成功次数的标准差的值最大, 其最大值为_____ 解 设成功次数为X, 则X~B(100,p), DX=100p(1-p)=100p-100p2, 对p求导并令其为0, 得 100-200p=0, 得p=0.5时成功的标准差的值最大, 其最大值为 29. xi~N(0,1)(i=1,2,3), 并且x1,x2,x3相互独立, 因此 30. (x,h)有联合概率密度 因此 x j0(x) 0 1 -1 j0(x) 0 u F0(x) x 1 x 2 x 1 1 -1 -1 2 x