概率与数理统计2-5.pptVIP

设 X ~ N ( ? , ? 2), 求 解: 正态分布的3? 原则 5、 上述结果表明，在一次试验中, X 落入 区间( ? - 3? , ? +3? )的概率为 0.9973, 而 超出此区间的可能性很小. ——称之为3? 原则 由3? 原则知， 当 五、 贝塔分布 性质: 1、贝塔函数 为 贝塔函数. 其中 a , b0 称 则称X 服从参数为a,b 的贝塔分布， 记为X～Be(a,b) 若 X 的密度函数为 2、贝塔分布的密度函数 3、贝塔分布的期望与方差 设 X ~ Be ( a,b), 则 a,b都是形状参数 注：Be(1,1) = U(0,1) 贝塔分布的应用场合 仅在区间(0, 1)上取值的各种比率通常服从贝塔分布. 如： 射击的命中率X 不合格品率Y 机器的维修率Z 市场的占有率X …… 一、 均匀分布 若 X 的密度函数为 则称 X 服从区间( a , b)上的均匀分布， 记作 1、均匀分布的密度函数与分布函数 即 X 落在(a,b)内任何长度为 d – c 的小区间的概率与小区间的位置无关, 只与其长度成正比. 这正是几何概型的情形. §2.5 常见的连续型r.v.的分布 X 的分布函数为 x p ( x) a b x F( x) b a 例1 设X~U(0, 10), 现对X作4次独立观测, 试求至少有3次观测值大于5的概率. (P108) 注: U(0, 1)分布称为标准均匀分布 进行大量数值计算时, 若在小数点后第 K+1 位进行四舍五入, 则产生的误差可以看作 服从 的随机变量. 均匀分布的应用场合 设 X ~ U ( a, b), 则 2、均匀分布的期望与方差 即小数点后保留k位 例2 秒表最小刻度值为0.01秒. 若计时精 度是取最近的刻度值, 求使用该表计时产生的随机误差X 的 pdf, 并计算误差的绝对值不超过0.004秒的概率. 解 X 等可能地取得区间 所以 上的任一值，则 二、 指数分布 ?? 0 为常数, 则称 X 服从 参数为 ? 的指数分布, 记作 X 的分布函数为 若 X 的密度函数为 1、指数分布的密度函数与分布函数 1 x F(x) 0 x p ( x) 0 注: 对于任意的 0 a b, 无线电元件的寿命X 动物的寿命Z 指数分布 常作为各种“寿命” 分布的近似 若一个元器件（或一台设备、或一个系统）遇到外来冲击时即告失效，则首次冲击来到的时间X（寿命）服从指数分布。 指数分布的应用场合 随机服务系统中的服务时间X 电话问题中的通话时间Y 如： 设备两次故障的间隔时间X 2、指数分布的期望与方差 设 X ~ Exp ( ), 则 若 X ~Ｅ(?), 则对任意的s 0, t 0, 有 故又把指数分布称为“永远年轻”的分布 3、指数分布的“无记忆性” 事实上, 例3 假定一大型设备在任何长为 t 的时间 (0, t]内发生故障的次数 N( t ) ~ P (?t), 求 .相继两次故障的时间间隔 T 的概率分布; (P110 ） .设备已正常运行８小时的情况下, 再正常 　 运行 10 小时的概率. 三、 伽玛分布 性质: 1、伽玛函数 为 伽玛函数. 其中 称 则称X 服从参数为?，λ( 0)的?-分布，记为 X～ Ga(?,λ) 若 X 的密度函数为 2、伽玛分布的密度函数 3、伽玛分布的期望与方差 设 X ~ Ga ( ), 则 ?为形状参数 λ为尺度参数 伽玛分布的应用场合 若一个元器件（或一台设备、或一个系统）能抵挡一些外来冲击，但遇到第 k 次冲击时即告失效，则第k次冲击来到的时间X 服从伽玛分布（第一参数为k） 。 ①.当?=1时,Ga(1,λ)是参数为λ的指数分布. 4、伽玛分布的两个特例 ②.当?= n/2, λ=1/2时,Ga(? ,λ)是自由度为n 　 的　 分布.记为 此时X 的密度函数为 期望和方差分别为 伽玛分布与指数分布的关系： 若第一参数(形状参数)为k，则伽玛变量可以表示成 k 个独立同分布的指数变量的和， 即若 X ~ Ga(k,λ)，则 X = X1 + X2 +…+Xk ， 其中X1, X2, … Xk是独立的且都服从指数分布Exp(λ) 的随机变量. 四、 正态分布 若X 的 密度函数为 则称 X 服从参数为