本部微II期末复习课20110607.ppt

一、 求不定积分的基本方法 3. 分部积分法 多次分部积分的 规 律 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 设 例5. 求 例6. 求 例7. 设 例8. 求 二、几种特殊类型的积分 2. 需要注意的问题 例10 求 例11 求 一、与定积分概念有关的问题的解法 例2 例3 证明 例6 注意 f (0) = 0, 得 例7 求多项式 f (x) 使它满足方程 二、有关定积分计算和证明的方法 例8 求 例9 求 例10 选择一个常数 c , 使 例11 设 例12 若 因为 例13 证明恒等式 例14 证明: 令 思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ? 例15 例16 设 例1 求抛物线 例2 设非负函数 又 一、 基本概念 例1 已知 二、多元函数微分法 例2 设 解法2 例3 设 练习题 解答提示: 3. 设 三、多元函数微分法的应用 一、二重积分的累次积分法 1、 计算二重积分 2、 二、二重积分计算的基本技巧 例1 计算二重积分 (2) 积分域如图: 例2 计算二重积分 (2) 提示: 例3 三、二重积分的应用 例4 一、数项级数的审敛法 3. 任意项级数审敛法 例1 若级数 利用比值判别法, 可知原级数发散. 2、 设正项级数 3、 设级数 4、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性: 二、求幂级数收敛域的方法 例2 三、幂级数和函数的求法 例3 求幂级数 法2 练习: 练习: 四、函数的幂级数和级数展开法 2. 设 一、一阶微分方程求解 例1. 求下列方程的通解 调换自变量与因变量的地位 , 例2 求下列方程的通解: 例3 练习题: 二、解微分方程应用问题 一、两类二阶微分方程的解法 2. 二阶线性微分方程的解法 特征根: 3、求解 例1 求微分方程 例2 例3. 补充题 2. 且满足方程 提示: 则 问题化为解初值问题: 最后求得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 法1 易求出级数的收敛域为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 先求出收敛区间 则 设和函数为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确, 故和函数为 而在 x≠0 求下列幂级数的和函数： 级数发散, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有 x = ?1 时, 级数也收敛 . 即得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式= 的和 . 求级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 直接展开法 ? 间接展开法 练习: 1. 将函数 展开成 x 的幂级数. — 利用已知展式的函数及幂级数性质 — 利用泰勒公式 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 函数的幂级数展开法 , 将 f (x)展开成 x 的幂级数 , 的和. ( 01考研 ) 解: 于是 并求级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题 解法及应用 第九章 1. 一阶标准类型方程求解 关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 用线性方程通解公式求解 . 化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (贝努里方程) (分离变量方程) 原方程化为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 ,