北航 高数课件 12节.pptVIP

例7. 探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面, 它的形状由 解 代入原方程得 例8 分离变量法得 得原方程的通解 方程变为 上述方法不能用. 可分离变量的微分方程. 可分离变量的微分方程. 可分离变量. 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 (一) 变量分离方程 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 三、小结 为微分方程的隐式解，又含任意常数，故为通解，综合为隐式通解。 说明： (二)齐次方程 形式 解法 可化为齐次方程的方程 习题12.1 1（3）（4） 2（2）（4） 习题12.2 1（2）（3）（4） 2（1）3（2） 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 例9 思考题 方程 是否为齐次方程? 思考题解答 方程两边同时对x求导: 原方程是齐次方程. 例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 * * §12-1-2 微分方程的概念与解法 高等数学 第十二章 微分方程第一节 微分方程的基本概念 一、问题的提出 二、微分方程的定义 三、微分方程的解 重点：微分方程基本概念 解 例1 一、问题的提出 解 例2 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 例 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 分类3: 线性与非线性微分方程. 分类4: 单个微分方程与微分方程组. 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数被称为微分方程的解. 三、主要问题----求解方程 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 微分方程的解的分类： (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 过定点的积分曲线; 一阶: 二阶: 过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题（或柯西问题）: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 例3 所求特解为 微分方程; 微分方程的阶; 微分方程的解; 通解; 初始条件; 特解; 初值问题; 积分曲线; 四、小结 回忆基本概念： 思考题 是微分方程的特解. 思考题解答 中不含任意常数, 故为微分方程的特解. 第 二 节 可分离变量方程与齐次方程 一、可分离变量方程 二、齐次方程 重点：分离变量法 难点：灵活运用分离变量法 一、可分离变量方程 可分离变量的微分方程： 解法 为微分方程的解. 分离变量法 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 注：任意常数的处理。 通解为 解 注：灵活应用变量替换 例2 解 衰变规律 即 通解为 解 为简便见，以后不讨论这种特殊解. 思考题 求解微分方程 思考题解答 为所求解. 二、齐次方程 的微分方程称为齐次方程. 2. 解法 作变量代换 代入原式得 可分离变量的方程 1.定义 (一) 齐次方程 例5 求解微分方程 微分方程的解为 解 此题也可先将方程两端同时除以 x 得一标准齐次方程，然后求解。 例6 求微分方程满足初始条件得解： 解 则微分方程的通解为 由光的反射定律: 可得 ?OMA = ? OAM = ? 解: 将光源所在点取作坐标原点, 并设 入射角 = 反射角 能的要求, 在其旋转轴 (x 轴)上一点O处发出的一切光线， 从而 AO = OM xOy 坐标面上的一条曲线 L 绕 x 轴旋转而成 , 按聚光性 而 AO 于是得微分方程 : 经它反射后都与旋转轴平行. 求曲线 L 的方程. 积分得 故有 得 (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程) (二)可化为齐次的方程 为齐次方程. （其中h和k是待定的常数） 否则为非齐次方程. 2.解法 1.定义 有唯一一组解. 得通解代回