第8讲 MATALAB微分方程.pptVIP

Matlab提供的ODE求解器 * * 数学建模 微 分 方 程 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数， 这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。 求解微分方程有三种方法： 1）求精确解；2）求数值解（近似解）；3）定性 理论方法。 一、导弹追踪问题 设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A(1, 0)处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰.如果乙舰以最大的速度v0(是常数)沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程.又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？ 解法一（解析法） 由(1),(2)消去t整理得模型: 二 范. 梅格伦（Van Meegren） 伪造名画案 第二次世界大战比利时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹分子的合作者，发现一名三流画家H.A.Vanmeegren曾将17世纪荷兰著名画家Jan.Vermeer的一批名贵油画盗卖给德寇，于1945年5月29日通敌罪逮捕了此人。 Vanmeegren被捕后宣称他从未出卖过荷兰的利益，所有的油画都是自己伪造的，为了证实这一切，在狱中开始伪造Vermeer的画《耶稣在学者中间》。当他的工作快完成时，又获悉他可能以伪造罪被判刑，于是拒绝将画老化，以免留下罪证。 为了审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家等参加的国际专门小组，采用了当时最先进的科学方法，动用了X-光线透视等，对颜料成份进行分析，终于在几幅画中发现了现代物质诸如现代颜料钴蓝的痕迹。 这样，伪造罪成立， Vanmeegren被判一年徒刑。1947年11月30日他在狱中心脏病发作而死去。 但是，许多人还是不相信其余的名画是伪造的，因为， Vanmeegren在狱中作的画实在是质量太差，所找理由都不能使怀疑者满意。直到20年后，1967年，卡内基梅隆大学的科学家们用微分方程模型解决了这一问题。 原理 著名物理学家卢瑟夫（Rutherford）指出： 物质的放射性正比于现存物质的原子数。 设 时刻的原子数为 ，则有 为物质的衰变常数。 初始条件 半衰期 能测出或算出，只要知道 就可算出 这正是问题的难处，下面是间接确定 的方法。 断代。 油画中的放射性物质 白铅（铅的氧化物）是油画中的颜料之一，应用已有2000余年，白铅中含有少量的铅(Pb210)和更少量的镭(Ra226)。白铅是由铅金属产生的，而铅金属是经过熔炼从铅矿中提取来出的。当白铅从处于放射性平衡状态的矿中提取出来时， Pb210的绝大多数来源被切断，因而要迅速蜕变，直到Pb210与少量的镭再度处于放射平衡，这时Pb210的蜕变正好等于镭蜕变所补足的为止。 铀238 镭226 铅210 钋210 铅206 （放射性） （无放射性） 假设 （1）镭的半衰期为1600年，我们只对17 世纪的油画感兴趣，时经300多年，白铅中镭至少还有原量的90%以上，所以每克白铅中每分钟镭的衰变数可视为常数，用 表示。 （2）钋的半衰期为138天容易测定，铅210的半衰期为22年，对要鉴别的300多年的颜料来说，每克白铅中每分钟钋的衰变数与铅210的衰变数可视为相等。 建模 设 时刻每克白铅中含铅210的数量为 ， 为制造时刻 每克白铅中含铅210的数量。 为铅210的衰变常数。则油画中铅210含量 求解 均可测出。 可算出白铅中铅的衰变率 ，再于当时的矿物比较，以鉴别真伪。 矿石中铀的最大含量可能 2~3%，若白铅中铅210每分钟衰变超过3 万个原子，则矿石中含铀量超过 4%。 测定结果与分析 6.0 5.2 欢笑的女孩 1.4 1.5 做花边的人 0.17 8.2 弹曼陀林的妇人 0.3 10.3 读乐谱的妇人 0.26 12.6 洗足 0.82 8.5 Emmaus的信徒们 镭226衰变原子数 钋210衰变原子数 画名 若第一幅画是真品， 铅210每分钟每克衰变不合理，为赝品。 同理可检验第2，3，4幅画亦为赝品， 而后两幅画为真品。 微分方程数值解 1．欧拉方法 欧拉方法的基本原理:消除导数项（离散化）。 欧拉法的一般步骤: 欧拉方法的特点:易于理解，计算量小，精度低。 2．梯形法 梯形法的一般步骤: 梯形法的特点:，计算量大，精度高。 龙格－库塔法 龙格－库塔法的基本思想： 由微分中值定理： 微分方程的解析解 求单个微分方程的解析解命令: dsolve(‘方程1’, ‘初始条件