数学竞赛平面几何.docVIP

1、如图，给凸四边形ABCD，∠B＋∠D＜180°，P是平面上的动点，令．（2008年全国高中数学联赛） （1）求证：当达到最小值时，P、A、B、C四点共圆； （2）设E是△ABC外接圆O的弧弧AB上一点，满足：，，，又已知DA、DC是⊙O的切线，，求的最小值． 2、在凸四边形ABCD的外部分别作正三角形ABQ、正三角形BCR、正三角形CDS、正三角形DAP，记四边形ABCD的对角线之和为，四边形PQRS的对边中点连线之和为，求的最大值．（2008年第7届中国女子数学奥林匹克）3、已知凸边形ABCD满足AB＝BC，AD＝DC．E是线段AB上一点，F是线段AD上一点，满足B、E、F、D四点共圆．作△DPE顺向相似于△ADC；作△BQF顺向相似于△ABC．求证：A、P、Q三点共线．（注：两个三角形顺向相似是指它们的对应顶点同按顺时针方向或同按逆时针方向排列）（2008年第7届中国女子数学奥林匹克）4、在△ABC中，AB＝AC，其内切圆⊙I切边BC、CA、AB于点D、E、F，P为弧EF（不含点D的弧）上一点．设线段BP交⊙I于另一点Q，直线EP、EQ分别交直线BC于点M、N．证明： （1）P、F、B、M四点共圆； （2）．（2008年第8届中国西部数学奥林匹克） 5、圆与圆内切于点S，圆的弦AB与圆相切于点T，设圆的圆心为O，P为直线AO上一点．求证：PB⊥AB的充分必要条件是PS⊥TS．（2009年中国国家集训队测试） 6、在凸五边形ABCDE中，AD与BE相交于F，BE与CA相交于G，CA与DB相交于H，DB与EC相交于I，EC与AD相交于J．设、、、、分别为AI与BE、BJ与CA、CF与DB、DG与EC、EH与AD的交点，求证： ．（2009年中国国家集训队测试） 7、在凸四边形ABCD中，∠DCA与∠CDB的外角平分线分别是边CB与DA，E、F分别为AC、BD的延长线上的点，且C、E、F、D四点共圆．平布的一点P使得DA是∠PDE的外角平分线，CB是∠PCF的外角平分线．边AD与BC所在直线交于点Q．求证：点P在边AB上的充分必要条件是点Q在线段EF上．（2009年中国国家集训队测试） 8、设D、E分别为△ABC的边AB、BC上的点，P是三角形ABC内一点，使得PE＝PC，且△PAD的外接圆的切线．（2009年中国国家集训队测试） 9、在锐角△ABC中，点P、Q分别是边AB和AC上的点．△ABC的外接圆和△APQ的外接圆交于异于点A的另一点X．点Y是X关于直线PQ的对称点．已知PX＞PB，求证：△XPQ的面积大于△YBC的面积．（2009年中国国家集训队测试）10、设D是三角形ABC的BC边一上点，满足∠CAD＝∠CBA．圆O经过B、D两点，并分别与线段AB、AD交于E、F两点，BF、DE相交于点G．M是AG的中点． 求证CM⊥AO．（2009年中国国家队选拔考试） 11、设圆和交于点X、Y．过的圆心的直线交圆于点P、Q，过的圆心的直线交于点R、S．证明：若P、Q、R、S四点共圆，则该圆的圆心在直线XY上．（2009年美国数学奥林匹克） 12、BD是三角形ABC的角平分线（点D位于线段AC上）．直线BD交三角形ABC外接圆于点B和E．以线段DE为直径的圆交圆于点E和F．（2009年俄罗斯数学奥林匹克） 13、和分别是平行四边形ABCD边AB和BC上的点．线段和交于点P．三角形和的外接圆的第二个交点Q位于三角形ACD的内部．证明：∠PDA＝∠QBA．（2009年俄罗斯数学奥林匹克） 14、设O是三角形ABC的外心．点P和Q分别是边CA和AB的内点．设K、L和M分别是线段BP、CQ和PQ的中点，是过点K、L和M的圆．若直线PQ与圆相切，证明：OP＝OQ．（2009年国际数学奥林匹克）15、在三角形ABC中，AB＝AC，∠CAB和∠ABC的内角平分线分别与边BC和CA相交于点D和E．设K是三角形ADC的内心．若∠BEK＝45°，求∠CAB所有可能的值．（2009年国际数学奥林匹克）16、△ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、．则的值为（ ）．（2005年全国高中数学联赛） A、2 B、4 C、6 D、8 17、如图，四硕体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45°，，则CD＝ ．（2005年全国高中数学联赛）18、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过A作△ABC的外接圆的切线l．又以A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于D，交直线l于E、F． 19、在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的内切圆O分别与边BC、CA、AB相切于点D、E、F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若∠BPC＝90°，求证：AE＋AP＝PD．（200