数学竞赛中的三次函数图象问题.pdfVIP

霞 ! 数学竞赛中的 一 刘康 宁(陕西省西安铁一 中) 在文献[1]中，笔者主要对三次函数 的零点 问题 吾， 进行了多角度、全方位 的探究，给 出了～组结论。本 文拟通过竞赛题，谈谈有关三次函数图象问题的解题 解得 m一昔， 思路 ，仅供参考 。 例 1 (2010年 山东省高 中数学预赛题)函数 l：70。 厂(z)一 。+2x+3x+4的图象的对称中心为 。 解析：我们知道 ，三次函数 y—z。、—ax。+cz(a 故函数-厂(z)图象的对称中心为(～2，70)。 ≠O)都是奇函数 ，它们 的图象是 中心对称 图形 ，对称 方法3：设函数厂(z)图象的对称中心为 (，尼)，则 中心是坐标原点。而一般 的三次函数 一ax。+bx 对任意 z∈R，有 厂(矗+z)+厂(矗--x)一2k，即 +c+ (n≠0)不一定是奇函数 ，但是可以通过平移， [(+z)。+(一z)。]+2[(矗+ )+(--x)]+ 将其转化为奇函数。 3r(^+z)+ (一z)]+8—2k， 我们还知道 ，一个 函数 Y一厂(-z)的图象关于点 亦即 (3h+2)-z。+h。+2h+3h+4一k。 (，是)成中心对称 图形 的充要条件是 ，对任意 z∈R， 3h+2= o, 者B有 (^+z)+f(h—z)一2k。 所以t l。+2 。+3 +4一尼。 方法 1：设函数 ()图象的对称 中心为 (，尼)，则 说 明：方法 3所应用的结论对于图象成中心对称 将 ()的图象按向量 ，，l(矗，尼)平移后所得函数为 图形的任意函数都适用 。对于三次函数 f(x)一。-z。 g(z)一 (z+h)。+2(+ )+3(z+h)+4一k +bx。+fz+d(a≠O)，还有如下两个结论 ： ===-z。+ (3h+2)-z。+ (3h +4h+3)Iz+h。+2h + (1)厂(z)的图象是 中心对称 图形 ，对称 中心必在 3 +4一是。 又函数 g(z)为奇函数的充要条件是 其图象上，且为(一b，-厂(一 ))； 』3h+2=0， (2)，(-z)的拐点z一一b(使二阶导数厂(z)一。 1h3+2h2+3h+4--k一0， r{h一一专2， 的点)恰好是它的图象的对称 中心的横坐标。 解得{，70 例 2 设函数 ，(z)一z。+a2c+bx+c的图象与 宠【一 。 z轴 自左至右依次交于不 同的三点A、M、B，过点 A、 B分别作 曲线y一-厂()的切线 ，切点分别为 P、Q，且 故函数厂(z)图象的对称中心为(～号