变系数Neumann问题正解的存在性及多解性.pdfVIP

高校应用数学学报 2014，29(2)：211—222 变系数Neumann问题正解的存在性及多解性 闫东明 (浙江财经大学数学与统计学院，浙江杭州310018) 摘 要：应用Dancer全局分歧理论，研究变系数Neumann边值问题 {fUtt(￡)+m(t)(￡)=f(t，(t))，t∈(0，1)， 【U(o)=0，U，(1)=0 一 个正解及多个正解的存在性，其中m ∈c[o，1]，f：0【，1】×[0，。。)一 0[，。。)连续．给出 了此类问题有一个正解及多个正解存在的与其相应线性问题第一个特征值有关的充 分条件，该条件中所涉及的值是最优的． 关键词：变系数Neumann问题；全局分歧；正解；多解性；第一特征值 中图分类号：O175．8 文献标识码：A 文章编号：1000—4424(2014)02—0211—12 51 引 言 Neumann边值问题因其具有的物理意义引起了人们的广泛关注，并且对此类问题的研究也 取得了许多深刻的结果 【-61．同时鉴于正解及多个正解的实际意义，对Neumann边值问题一个正 解及多个正解存在性的研究亦显得更为活跃．文献[1—4]通过考察Neumann边值问题 f{ (t)+m ()=f(t，())，t∈(0，1)， (1．1) 【，(0)=0，，(1)：0 相应线性问题格林函数的性质，应用锥上的不动点定理分别研究了常系数Neumann边值问 题(1．1)一个正解及多个正解的存在性．[1-3]分别在非线性项，满足超线性或次线性的条件、局部 条件、局部单调性条件下得到了常系数Neumann：~值问题(1．1)一个正解的存在性．4【]在非线性 项．厂满足适当的局部条件下得到了常系数Neumann：~值问题(1．1)多个正解的存在性． 对于变系数Neumann边值 问题 f乱(￡)+m(t)(t)=f(t，乱(t∈(0，1)， {【 (0)=0，，(1)=0 (1．2) 收稿 日期：2013-12—03 修回日期：2014-03．28 212 高 校 应 用数 学 学 报 第29卷第2期 正解 的存在性以及多解性也曾被多人考察过[7_g]．文 7『]将变系数Neumann边值问题转化为 常系数问题，之后再运用 己有的常系数Neumann边值问题的格林 函数及相关结论得到了变 系数Neumann边值 问题(1．2)多个正解的存在性．而文9『1通过构造变系数问题的格林函数，对 变系数Neumann边值 问题做了直接的处理，在非线性项，满足局部单调性条件下得到了变系 数Neumann边值问题(1．2卜一个正解的存在性． 上述文献应用锥上的不动点定理分别得出了Neumann边值问题 (1．1)或(1．2)有一个正解及 多个正解存在的充分性条件，但这些文献中所得到的Neumann边值问题有正解及多个正解存在 的充分性条件中所涉及的数值都不是最优的，并且所得充分性条件与Neumann边值问题相应线 性问题的第一个特征值之间并没有建立起联系来．众所周知，边值问题相应线性问题的特征值 在边值问题正解及多个正解存在性的研究中是一个很本质的量．本文试图应用Dancer全局分歧 理论 1『01，研究变系数Neumann边值问题 (1．2)一个正解及多个正解的存在性，给出此类问题有 一 个正解及多个正解存在的与其相应线性问题第一个特征值有关的充分条件，该条件中所涉及 的值是最优的．无论从方法上还是从所得的结果上看，本文的研究都将丰富Neumann边值 问题 正解的存在性理论． 本文总假定： (H0) m ∈ [0，]，且0 1]m()，而