双参换元构造二次曲线巧解含根式问题.pdfVIP

嗣 解法探究 2014年2月 [j 双参换元，构造二次曲线巧解含根式问题 ⑩江苏省泰兴中学吴卫东 如果要画出这样一个简单的无理函数y-、／雨一的 秽)的轨迹是以(2，1)为圆心，、／了为半径的圆在第一象 图象，我们只能通过列表、描点、连线的方法勾勒出它的 草图，但如果对函数解析式进行平方得到旷一戈2=1(Y≥ 0)，这样它就是一个焦点在Y轴上的双曲线弧(不在戈轴 点评：引入双参数后．转化为圆上的动点到一个定点 下方)，图形直观明了，从这个角度看，解析几何中曲线 的距离的范围问题： 的几何特征可以从形的角度加深我们对函数性质的认 途径2转化为二次曲线的动点到一定直线的距离 识． 问题 一般来说，利用代数方法解决含根式的问题比较繁 例2封(戈)=l2x+7—2、仁；甄I的最值 琐，因为对根式而言，变形的主要方法是平方．由上面的 简单例子可以看出，函数与方程之间存在着必然的联 系．本文结合近几年来的竞赛或高考试题，通过引入两 的最值构建平面直角坐标系uOv，进一步转化为半圆(啦)2+ 个变量，即双换元的方法，将代数中的根式问题转化为 毛=4(秽≥0)上的点到直线2u一2v+7=L秽 解析几何中的二次曲线问题，总结出几种常用的转化途 ‘ 径． 0的距离d的范围问题(如图2)．d= 途径1转化为二次曲线上的动点与定点之间的距 芦娥， o 1 丽12u-2示v+71=监4恤圳， C 离问题 ＼／西砑 ／ M 例l (2013年全国高中数学联赛)若实数戈，Y满足z一即g(M，秽)=2厄·以 图2 4v5=2xv巧-y，求石的取值范围． 解析：本题含有两个根式，直接进行代数变形比较困 难，注意到等式中三个式子之间的关系：石=(V7)：+ 这样半圆上的点到直线z的距离的最小值是旦盟一2， (佰)z，很容易联想到利用柯西不等式得(2讧-y+ 最大值是M(4，0)到直线z的距离为半，则llX／．2— 4v3-)：≤(22+4z)[(、厨)2+(订)2]，即戈：、20x，所以 4 4 0≤x≤20． —2≤d≤!!型兰． 很多学生都得到这个答案，但事实上还必须由戈= 4 2 xV巧-y+4订≥2何+2订，且(X蝠--y+订)2≥ 戈+2佰·、／了≥x，得戈2≥乱，即z≥4或戈≤o．所以x=O或 值为15．最小值为11-4、／丁． 4≤戈≤20．可见利用柯西不等式解决这个问题非常容易