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南大,华科和武大数学夏令营笔试题
数学夏令营笔试题 （2016 年） 南京大学卷 （数学分析，高等代数） 数学分析 1.设函数f (x)在区间[a,b]上连续，g(x)是[a,b]上任意连续函数，若g(x)满足 b ，且 f (x)g(x)dx 0，求证： 在 上恒为0. g(a) g(b) a f (x) [a,b] 1 2.设当n 1时，an 2 2 ，判断an 的收敛性. m 1 m n n 1 3.设 2 ，且 ，求证： 为Lipschitz 函数.f f (x)C (R) f (x) 0,f (x) 1 4. D 0 设f (x,y)在 上有定义，且在某一圆盘外为 ，求证： 2 2 2 f f f 2 [ 2 2 ( ) ]dxdy 0. D x y xy 高等代数 1. C 2 C 设f (x)为 上的多项式，若f (x)|f (x )成立，求证：f (x)在 上的根只能为 0或偶数次单位根. 2.解线性方程 xy z 1, xy z 1, xy z . 并说明解的情况. 3.证明：正实数 上存在欧式空间. R 4.简述惯性定理，并证明之. 5.关于数字矩阵的极小多项式和是否能对角化问题. （题目忘了，但是不太难） 华中科技大学卷 （数学分析，高等代数） 数学分析 1. （1）求 t1dt . 2 . （） 若函数f (x)只有第一类间断点，证明：f (x)没有原函数 1 1 2.证明：f (x) ,x (0,1] 在[0,1]上可积. x x 0,x 0. 3.设 ，求其在曲线 2 2 上的最大方向导数. f (x) xy xy C:x y xy 3 4.若级数a xn 在x x 处收敛，证明：当x (x ,x )时，a xn 绝对收敛. n 0 0 0 n n 1 n 1 2
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