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第38卷 第4期 应 用 数 学 学 报 Vo1．38No．4 2015年 7月 ACTA MATHEMATICAEAPPLICATAE SINICA July，2015 半空间中一个具跳跃性的边值问题 熊 明 杨泽恒 王彭德 (大理大学数学与计算机学院，大理671003) (E-mail：dalixiongming@163．corn) 摘 要 本文在半空间中讨论如下边值问题的变号解的存在性： f—Au=0， inR ， + 咖 _，(u)， 。naR ， 其中 是一个正常数，非线性项 ．厂在无穷远处具有跳跃性，在原点是超线性的 关键词 跳跃陛；变号解；半空间 MR(2000)主题分类 35J92；35J60 中图分类 O174．5 1 引言与主要结果 我们在半空间中考虑如下的边值问题： - Au= O in RN+ , , 1、 ㈦扎扎 。。nnaR， cP ㈦ ， 其中 是正常数， R ={∈RⅣIz=xl，X2，…，xN)，XN0) g是非负函数，f在无穷远处具有跳跃性．为了给出问题 (P)的弱解，我们定义一个 合适的空间． (页 )表示在--N+上具有有界支集的所有光滑函数组成的集合．定义 如下范数 ( I ¨ n~u2dx)， 本文 2013年 1月 9日收到．2015年 5月 24日收到修改稿 4期 熊明，杨泽恒，王彭德：半空间中一个具跳跃性的边值 问题 587 其中 ，= x， ，…，XN-1)．W 表示 (再 )在上述范数下的完备化．则问题 (P)的 弱解就是求 ∈W使得 t，／ dx+ ／ g() dx=／ ，()dx， V ∈ R JORN t，aR 定义相应的泛函I(u)为 (，“)= JV ld+ 9()，“d，一 F()d，， R R 其中F(t)= f(8)ds． 我们假设： (g1)g∈Lo。(aR )，0 g 1并且 。lim 夕()=1，_9()≠1． 1Z I—+o。 (g2)存在 c，m，Ro0使得t1一g() 南 ，for Ro． 关于非线性项 ，我们假设： (^)f∈C(R，R)，f(t)t0，fort≠0． (，2)存在0，b使得tli 华 =n，．1im 掣 ：b． — — ÷+ o。 t——÷一 。。 (，3) 掣 =0． (，4)掣 当t 0时单调递增，当t 0时单调递减． 条件 (，2)说明．厂在无穷远处具有跳跃性．定义一个从 到 的算子 如下： (u，)：I，／VuV~dx+ ／ _9()乱dx， V ∈ R