一道课本习题的类比、归纳、猜想与证明.doc

一道课本习题的推广与证明　　　　　 古镇高级中学 付增德 普通高中课程标准试验教科书人民教育出版社A版选修4—4（2005年6月第1版）第二讲 “ 参数方程”的第2页习题2．1的第3题： “已知M是正三角形ABC的外接圆上的任意一点，求证：定值．”这是一道平面几何问题，配套的《教师用书》给出的解法是在平面直角坐标系中，利用圆的参数方程求解． 证明：不放设的外接圆的半径为Ｒ，建立如图的平面直角坐标系，使点Ｂ，Ｃ关于轴对称．那么外接圆的参数方程是　（是参数）Ａ，Ｂ，Ｃ的坐标分别为（Ｒ，０），，，点M的坐标为．由两点间距离公式，得＝＋＋＝（定值）． 这个题目提出的问题形式优美，富有探究性，而正三角形是正多边形最简单的一种，于是笔者作类比推理思考，正四边形、正五边形是否也有类似的结论呢？不妨设它们的外接圆的半径都为Ｒ，利用坐标法作了如下探讨． 对于正方形ＡＢＣＤ，以两条对角线所在的直线为坐标轴建立如图的平面直角坐标系，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ的坐标分别为，点M的坐标为．由两点间距离公式，得＝＋＋＋＝（定值）． 对于正五边形情况就复杂些，这里给出一种一般性推导，设正五边形的外接圆为⊙Ｏ，∠＝，根据三角函数定义，得，，，，．M是正五边形的外接圆上的任意一点，坐标为． 那么，＝＋＋＋＋ =又另， 下面求 Ｓ＝的值， Ｓ＝ 　＝＋ 　＝－， 而＝＝＝＝＝， 于是，Ｓ＝０，从而，＝，同样是非常简洁、发人深思的结果，也是定值，仅和外接圆的半径有关．我们还可以继续探讨正六边形，到此我们有理由猜想，对于正ｎ边形，是否也有这样一般性的结论呢？于是，笔者归纳出下面的命题：由半径为Ｒ的圆上任意一点到圆内接正ｎ边形的顶点的距离的平方和是一个定值，等于．笔者尝试给出两种证明方法： 平面几何法，这里需要一个冗长的推理过程，证明过程是几个定理组成的逻辑链条．先提示说明几个定理作为引理： 引理１ 　设一个正ｎ边形内接于圆，那么过它的所有顶点做切线形成圆外切正ｎ边形． 引理２　从正ｎ边形内或边上任意一点到各边的距离的和是一个定值，即边心距的ｎ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　倍． 如图4，设为正ｎ边形的边长，为边心距，，，…， 为点P到各边的垂线长，则正的ｎ边形的面积为 =…+．由此立即得出…＋． 引理３　圆上两个点的距离，是圆的直径与其中任一点到圆在另一点切线的垂线的比例　　 　　　　中项． 如图，P,A是圆O上的两点，过点P做过点A的切线的垂线AB,AC是圆O的直径，连结PC,则∽，∴，即· 定理　由圆上任意一点到圆内接正ｎ边形的顶点的距离的平方和是一个定值，等于　　　　　　　　　　 　　　　． 证明：设…为正ｎ边形，P为外接圆上一点，半径为R，过n个顶点分别作外接圆的切线，由理引１，得到正ｎ边形…，边心距为Ｒ．过点Ｐ作正ｎ边形…各边的垂线，并记垂线长依次为，…，由引理３，（…，），且由引理２，＋…＝．所以 　　　　　＝…）＝． 　再给出这个定理的一个非常有趣的推论，圆内接正ｎ边形的顶点的所有连线的平方和是，留给读者自己证明． 二、向量法 设…为正ｎ边形，P为外接圆O上一点，半径为R,先证明=考虑顺时针旋转变换,其中O为正ｎ边形的中心，则 设=，旋转后和向量为，根据旋转变换的性质，在旋转下，对应直线的交角等于旋转角，于是，=，而事实上=，所以，必然有=．故有 　　　　　＝＝＝ 　　　　　　　　　　　（…，） 1