81二重积分的概念和性质.ppt

例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 例2. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 解 解 例5. 估计下列积分之值 解: D 的面积为 由于 积分性质5 即: 1.96 ? I ? 2 D 四、内容小结 1. 二重积分的定义 3. 二重积分的性质 (与定积分性质相似) 2. 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） CXWang, 2014 CXWang, 2010 CXWang, 2010 CXWang, 2014 CXWang, 2010 CXWang, 2010 第八章 二重积分 Double Integral §8.1 二重积分的基本概念 §8.2 二重积分的计算 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 四、小结 §1 二重积分的基本概念 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 步 骤： 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积 具体步骤如下： 1. 分割 2. 取近似 3. 求和 4. 取极限 ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 二、二重积分的概念 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 ------ 被积表达式 面积元素 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值． 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 故二重积分可写为 则面积元素为 D 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 性质8.设函数 D 位于 x 轴上方的部分为D1 , 当区域关于 y 轴对称, 函数关于变量 x 有奇偶性时, 仍 在 D 上 在闭区域上连续, 域D 关于x 轴对称, 则 则 有类似结果. 在第一象限部分, 则有 CXWang, 2014 CXWang, 2010 CXWang, 2010 CXWang, 2014 CXWang, 2010 CXWang, 2010