专题函数解析式.doc

专题函数解析式 1 基础知识 一）求函数的解析式 1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是，不能把它写成； 2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形； 3、把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫函数的解析式，简称解析式。 4、求函数解析式的一般方法有： （1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。 （2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值； （3）换元法：若给出了复合函数的表达式，求的表达式时可以令，以换元法解之； （4）构造方程组法：若给出和，或和的一个方程，则可以代换（或），构造出另一个方程，解此方程组，消去（或）即可求出的表达式； （5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。 2 知识点拨 一 【待定系数法】（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） 若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 【例1】已知函数是一次函数，且满足关系式，求f(x)的解析式。 解：设，由条件得：， 【变式训练1】设是一次函数，且，求。 【变式训练2】求一个一次函数，使得。 二 【配凑法】（整体代换法） 已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域． 【例2】 已知 ，求的解析式． 解：， ， ． 【变式训练】已知,求的解析式． 三 【换元法】（注意新元的取值范围） 已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。 【例3】 已知，求． 解：令，则， ． ． 【变式训练】已知，求函数的解析式。 四 【代入法】 求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法） 例4已知：函数的图象关于点对称，求的解析式． 解：设为上任一点，且为关于点的对称点． 则 ，解得： ，点在上 ， ． 把代入得：．整理得． 【变式训练】已知函数是奇函数（图象过原点，并且的函数），求函数的解析式。 五 【构造方程组法】（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等） 若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设求． 解 = 1 \* GB3 ① 显然将换成，得： = 2 \* GB3 ② 解 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②联立的方程组，得：． 【变式训练】已知函数满足2，求函数的解析式。 六 【赋值法】：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式． 例6 已知：，对于任意实数，等式恒成立，求． 解：对于任意实数x、y，等式恒成立， 不妨令，则有． 再令 得函数解析式为：． 【变式训练】若，且，求值 七 【递推法】：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式． 【例7】设是定义在上的函数，满足，对任意的自然数都有，求． 解 ，不妨令，得：， 又 = 1 \* GB3 ① 令 = 1 \* GB3 ①式中的x＝1，2，…，n－1得： 将上述各式相加得：， ． 【变式训练】．设，记，求. 八 【利用给定的特性求解析式.】 【例8】．设是偶函数，当时，，求当时，的表达式.。 解：，又是偶函数，即 【变式训练】对，满足，且当时， 求当时的表达式. 3 当堂练习 1、已知二次函数的图象的顶点为，且过点，求此二次函数的解析式。 2、已知二次函数的图象与x轴交于点，，且最值为，求此二次函数的解析式。 5、已知二次函数与轴的两交点为，，且，求 6、已知是一次函数，且，求 7、已知二次函数满足：求 8、已知 ，求。 9、已知，求，。 10、已知，求； 11、已知，求 12、已知，求 13、已知，求 14、已知求。 15、已知满足，求． 16、设函数是定义在上的函数，且满足关系式，求的解析式. 17、满足：，求 18、满足：求 19、已知：，对于任意实数，等式恒成立，求 20、已知，求 21、若函数，则= . 22、根据函数图象求函数的解析式