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要点：1.如何判定凹凸性 2. 如何求拐点 §4.6 曲线的凹向与拐点 定义 1 如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点切线的上方，则 称曲线在该区间内是上凹的，也称为凹的，如图4.16 。如果在某区间 内，曲线弧位于其上任意一点切线的下方，则称曲线在这个区间内是 下凹的，简称为凸的，如图4.17 。 图4.16 图4.17 定理6.1 设函数f (x) 在区间(a ,b) 内具有二阶导数，那么 （1）如果x (a ,b) 时，恒有f (x) 0 ，则曲线y f (x) 在(a ,b) 内是上凹 的 （凹的）；  （2 ）如果x (a ,b) 时，恒有f (x) 0 ，则曲线y f (x) 在(a ,b) 内是下凹 的 （凸的）.   事实上，因为f (x) 0 时，f (x) 必为单调增加，即切线与x 之夹 角的正切tan由小变大。由图上可知，曲线是上凹的。反之，如果 f (x) 0 ，则f (x ) 单调减少，即tan由大变小，所以由图上可知，曲 156 线下凹. 定义2 曲线上凹与下凹的分界点称为曲线的拐点。  由定义可知在拐点的左右邻近，f (x ) 必然变号。因而在拐点处 f (x) 0 ，或f (x) 不存在。 图4.18 例6.1 求曲线y x 4 2x 3 1 的凹向与拐点。 解 y 4x 3 6x 2 ，y 12x 2 12x 12x (x 1) .令y 0 , 得x1 0, x 2 1. 列表 如下 x (,0) 0 (0,1) 1 （1，）  y + 0 - 0 + 0 y ∪ 1（拐点） ∩ ∪ （拐点） 图4.19 可见曲线y x 4 2x3 1在区间(,0) 内是上凹的，在(0,1) 内是下凹，在 157 (1,) 内又是上凹，而(0,1) , (1,0) 两点是曲线的拐点。 有两种特殊情形要加以注意： （1）在点x 0 处一阶导数存在 （知曲线在点x0 处连续且有切线）而二 阶导数不存在时，如果在点x 0 左右邻近二阶导数存在且符号相反，则 点(x 0 , f (x0 )) 是拐点。如果符号相同，则不是拐点。 （2 ）在点x 0 处函数f (x) 连续，而一，二阶导数都不存在，而在点x 0 左 右邻近二阶导数存在且符号相反，则点(x ,f (x )) 是拐点，如果左右邻 0 0 近符号相同，则不是拐点。 容易看出，无论是 （1）还是 （2），都要求(x ,f