Poisson跳的随机延迟微分方程Heun方法的均方收敛性.pdfVIP

应 用 数 学 MATHEMATICA APPLICATA 2015，28(4)：938—948 Poisson跳的随机延迟 分方程 Heun方法的均方收 性 易玉连 ，王文强 (湘潭大学数学与计算科学学院，湖南湘潭411105) 摘要：Heun方法是一类求解 随机延迟微分方程 的数值方法，本文试 图研 究Poisson$~的随机延迟微分方程Heun方法的均方收敛性．当Poisson／~的随机延 迟微分方程满足一定约束条件时，获得Heun方法求解方程所得的数值解收敛于 真解，且均方收敛阶为丢的理论结果．文末数值试验的结果验证了理论结果的正确 性． 关键词：随机延迟微分方程；Heun方法；Poisson跳；均方收敛 中图分类号：O241．81 AMS(2000)主题分类：60J75；65C30；65L20；90B36 文献标识码：A 文章编号：1001—9847(2015)04-0938—11 1．引言 微敛 同确定性模型问题相比较，随机带跳延迟微分方程通常能更准确地模拟现实中很多问题， 故而被广泛应用到金融学，物理，化学，制药等众多领域．但通常，随机带跳延迟微分方程的解 析解是难以获得的，因此对其数值方法的构造及相应收敛性的研究受到了越来越多学者的青 睐，并取得了一定的研究成果． 对于一般随机延迟微分方程解的存在唯一性及数值方法的收敛性，已有大量文献中给 出了相关结论[卜引．文6【】证明了随机带跳延迟微分方程半隐式Euler方法收敛阶为 ．文[7] 进一步对变延迟情形下半隐式Euler方法的收敛性进行了讨论．文8【]对随机带跳延迟微分方 程Taylor逼近解的收敛性进行了分析．另外，文[9—11】讨论了局部Lipschitz条件下，随机带跳 延迟微分方程的收敛性．相对而言，随机带跳延迟微分方程数值解的研究才刚刚起步，而且涉 猎较多的是 自治情形下的相应问题，并且探讨较多的是Euler方法的收敛性或稳定性，尚未见 将Heun方法应用到非 自治情形的随机带跳延迟微分方程的相关文献． Heun方法源 自常微分方程，Gr~ne和Kloeden在文[12]中给出了Heun方法的构造及其收 敛性相关研究结果．文f13—14]分别讨论了随机延迟微分方程以及变延迟随机微分方程Heun方 法的均方稳定性． 本文尝试对Poisson跳的随机延迟微分方程Heun方法的收敛性进行研究．证明了当Poisson 跳的随机延迟微分方程满足一定的约束条件时，~[Heun方法获得的数值解收敛于真解，且其均 方收敛阶为 ，最后用数值试验验证了理论结果的正确性． 收稿 日期：2015—04-15 基金项目：国家自然科学基金11171352)，湖南省教育厅重点项目(14A146) 作者简介：易玉连，女，汉族，湖南人，研究方向：微分方程数值方法． 通讯作者：王文强． 第4期 易玉连等：Poisson跳的随机延迟微分方程Heun方法的均方收敛性 939 2．预备知识 设(，厂，{五】．0，P)为完备的概率空间，滤子_[)to满足通常条件(即， 是递增右连 续的并且 包含所有的零测集)．令I·I表示 中的欧几里得范数，即l I=、，／ (∈ )． 若 为 n×m 中的矩阵，则I．1表示迹范数，即IA l= x／—trace(—AWA)． ，Y表示R 中向量 ，Y的内积．初值函数dt)，t∈[一下，0]连续，Y0可测，且满Z_Ell(t)lI。。，其 中llII= sup I∈()I．考虑T~JIt5~Poisson跳随机延迟微分方程 -- ~-tO — — — — fdx(t)=f(t，()，(t一7_))d+9(t，(t)，x(t一7_))d@) { + (亡，(t)，(t一7-))dⅣ(t)， t∈0【，T】， (2．1)