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03 －04 群论考试试题解答 （仅供参考） G 1.设 是从群 到群H 的一个同态映射 φ a)试写出相应同态关系式； −1 −1 b)证明φ(e) eH , e =∈G ；φ(a ) φ (a), ∀a ∈G e G 其中 和eH 分别为群 和群H 的单位元； −1 c)证明同态映射的核（即φ (e ) g | g =∈G,φ(g) e G H { H }）是群 的子群。 解：a) 同态关系为：φ(ab) φ(a)φ(b) b)右上述同态关系式及 ea ae a, aa−1 a−1a e ，对e ∈G, ∀a ∈G φ(e)φ(a) φ(a)φ(e) φ(a), e ∈G,∀a ∈G ⎧ 可得⎨ −1 −1 ∈ ∀ ∈G φ(a )φ(a) φ(a)φ(a ) φ(e), e G, a ⎩ 这说明 −1 −1 φ(e) eH ,φ(a ) φ (a),∀a ∈G c)如果 −1 ，则 a,b ∈φ (eH ) φ(a) eH ,φ(b) eH 于是 −1 −1 −1 −1 φ(ab ) φ(a)φ(b ) φ(a)φ (b) eH eH eH ab−1 ∈φ(e−1) H 所以，同态映射 −1 G φ 的核φ (eH ) ，是群 的子群。 G G 2.设集合 是一个群，在群 中定义左乘 所以G(b) e …… { } （文献从缺） G G 3.a)设集合 是一个群，在群 中定义共轭运算 φ : (a,b) φ(a )b aba−1 G 试证共轭运算是一种群作用（group action ），即群 对自身（作为集合）的group action 。 b)群G 作为一个集合，在上述共轭作用运算的群作用下被分成若干个轨道，处于同一轨道 n S 上的点共轭，从而组成一个共轭类。试证， 个元素的置换群 的同一共轭类中的元素 n n v ,v , ,v 具有相同的轮换结构，因而一个共轭类可由 个非负整数 1 2 n 用记号 [v ,v , ,v ]表示； 1 2 n n v ,v , ,v c)上述 个非负整数 1 2 n 是相互独立的吗？如果不是，请写出相应的限制条件； S S v ,v , ,v S d)在集合Sn 中任取一点 ，设 属于Sn 的共轭类[ 1 2 n ]，试求点 的迷向子群 （isotropy group ） S ; (