Black-Scholes方程的条件Lie—Backlund对称和不变子空间.pdfVIP

第32卷 第6期 工 程 数 学 学 报 Vo1．32No．6 2015年12fi] CHINESE JOURNALOFENGINEERING MATHEMATICS Dec．2015 doi：10．3969／j．issn．1005—3085．2015．06．009 文章编号：1005．3085(2015)06—0883-10 Black-Scholes方程的条件Lie—Bgcklund对称 和不变子空间木 左苏丽 ， 勾 明 ，李吉娜 ，黄 晴 f1西北大学数学系非线性中心现代物理研究所，西安 710127；2．中原工学院理学院，郑州 450007) 摘 要：偏微分方程的精确解蕴含了方程丰富的信息，对于描述各种现象的发展规律起着至关 重要的作用．因此偏微分方程的精确解成为了数学、物理、经济等领域研究的热点问 题．本文研究了金融数学中最重要的模型之一Black-Scholes方程的广义分离变量解． 运用条件Lie—Bgcklund对称与不变子空间理论相结合的方法，本文得到了形如欧拉方 程的条件Lie-Bgcklund对称．该方程允许的条件Lie—Bgcklund对称与高阶变系数的常 微分方程相对应．同时，我们还得到了该方程允许此特征的所有精确解． 关键词：Black-Scholes方程；条件Lie—Bgcklund对称；不变子空间；欧拉方程 分类号：AMS(2000)35D99 中图分类号：O175．2 文献标识码：A 1 引言 寻求偏微分方程 的精确解是数学、物理、经济等领域研究的热点问题 ．精确解包 含了方程丰富的信息，对于描述各种现象的发展规律起着至关重要的作用 ．与群论 相关的对称约化方法[112]，如条件Lie—Bgcklund对称方法是研究偏微分方程精确解 的有 效工具．对称群理论最早由Lie[。】提出，Zhdanov等人4【-6】推广 了Lie群理论，给出条 件Lie—Bgcklund对称 (CLBS)方法．而与不变子空间[]理论结合可 以给出更丰富的条 件Lie—Bgcklund对称．分离变量解 【】是微分方程最常见的一种形式的解．文献f9，101给出 了分离变量解的对称群解释．以对称群理论为基础 ，本文运用条件Lie—Bgcklund对称和 不变子空间理论相结合的方法，构造 了Black—Scholes方程 的广义分离变量解 k = ：Ci(t)()， (1) = 1 丰富了此类方程的精确解． 金融数学中著名的模型Black—Scholes方程[11-13】 仇 = 一 A2x2Vxx-B + c ， (2) 收稿 日期：2014—02—17． 作者简介：左苏丽 (1977年11月生)，女，博士．研究方向：偏微分方程的对称群与可积性 基金项目：国家 自然科学基金数学天元基金 11326167)；陕西省教育厅基金(JCl1217)；河南省自然 科学基金 (122300410166)；河南省教育厅 自然科学基金 (13Al10119)． 工 程 数 学 学 报 第32卷 是由Black、Scholes以及Merton在 1973年首次发表于不同的杂志．1997年，他们因此 荣获第29届诺贝尔经济学奖．Yang等人[13]研究了Black—Scholes方程的对称破缺．Gazi— z0v和Ibragimov[4]研究发现该方程允许 的李代数等价于线性扩散方程允许 的李代 数 ．Edelstein和Govinder[~]构造了Blac