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拉普拉斯定理就是独立同分布中心极
第1卷.. 第2期.. .. 贵阳学院学报(自然科学版) .. (季刊) .. Vo.l 1.. No. 2
JOURNAL OF GU IYANG COLLEGE
2006年6月Natura l Sciences ( Quarterly) Jun. 2006
中心极限定理在实际中的应用
*
戴.. 亮
(贵阳学院数学系, 贵州贵阳.. 550008)
摘.. 要: 中心极限定理是阐明有些即使原来并不服从正态分布的一些独立的随机变量, 它们
的总和渐近地服从正态分布。对概率论中的三个重要中心极限定理进行了论述, 并总结了它
们各自在实际中的应用。
关键词: 中心极限定理; 正态分布; 概率
中图分类号: O211..4.. .. 文献标识码: A.. .. 文章编号: 1673- 6125 ( 2006) 02- 0001- 04
Apply Central Lim it Theorem to Practice
DA I L iang
( Departm ent ofM athem atics, Gu iyang College, Gu iyang Gu izhou 550008, Ch ina)
Abstrac t: Cen tral lim it theorem states som e random var iable do not obey norma l distr ibution, but the ir
summ ation abide by norm al distr ibution approx im ate ly, Th is paper presen ts three centra l lim it theorem s
f probab ility theory app ly to practice.
K ey words: central lim it theorem; norm a l d istribution; probab ility
.. .. 在概率论中, 随机现象的统计规律性只
有在对大量随机现象的考察中才能体现出
来, 往往采用极限的方法去研究这些大量的
随机现象。而在客观实际中有许多随机变
量, 它们是由大量的相互独立的随机因素的
综合影响而形成的, 而其中每一个因素在总
的影响中所起的作用都是很微小的, 均匀
的, 没有一项因素起特别突出的影响, 这种
随机变量往往近似地服从正态分布。中心
极限定理就是用来描述随机变量和的概率
分布的极限的一系列定理, 就是阐明有些即
使原来并不服从正态分布的一些独立的随
机变量, 它们的总和的分布近似地服从正态
分布。
.. 1 ..
收稿日期: 2006- 02- 25
作者简介: 戴.. 亮( 1974- ) , 女, 贵州贵阳人, 贵阳学院数学系讲师。
. 独立同分布的中心极限定理
.. lim
n.. ..
P
.. n
i= 1
X i - n..
n..
.. x
= ..x
..
1
2..
e
-
t2
2 d t = .. (x )
该定理表明: 当n 充分大时, Yn =
Sn - n..
n..
的分布近似服从N ( 0, 1), Sn =
.. n
i= 1
X i。又由于Sn = n..Yn + n.., 即Sn 为Yn
的线性函数, 故Sn 的分布也近似于服从正
态分布, 且Sn 的分布近似于N ( n.., n..2
)。于
是我们知道, 相互独立同分布且存在期望和
方差的随机变量的和也近似服从正态分布。
故而独立同分布的中心极限定理给我们提
供了近似计算独立同分布的随机变量之和
的概率的方法。Sn 近似服从正态分布N ( n..,
n..2
), 当n较大时, 可先将Sn标准化, 然后再
查标准正态分布表得之。
这个定理的另一个形式是均值为.., 方
差为..2的独立同分布序列X 1, X 2, .., X n, 其
算术平均值X =
1
n.. n
i= 1
X i 在n 充分大时, 渐
近服从均值为.., 方差为..2
n
的正态分布, 这
一结果是数理统计中大样本统计推断的基
础。
独立同分布的中心极限定理主要适用
以下两个方面:
应用一: 求随机变量之和Sn 落在某区
间的概率。
对这类情形, 首先构造一列独立同分布
且期望和方差已知的随机变量, 其次将所求
事件的概率转化为此列随机变量之和Sn 在
某一区间取值的概率, 最后再用正态分布的
概率公式计算。
例1.. 设各零件的重量都是随机变量,
它们相互独立, 且服从相同的分布, 其数学
期望为0. 5kg, 均方差为0. 1kg, 问5000只零
件的总重量超过2510kg的概率是多少?
解: 设X i ( i= 1, 2, .., 5000) 表示第i
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