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3.5 标准正交向量组
内容提要
向量组的线性表示
向量组的线性相关性
向量组的秩与极大线性无关组
向量空间
标准正交向量组
2014年4月21 日7时27分 1
§5 标准正交向量组
一、向量的内积 x1 y1
x2 y2
x , y ,
定义1 ：设有n 维向量
xn yn
称[x, y ] = x y + x y + … + x y 为向量x 和y 的内积
1 1 2 2 n n
注：1.内积是两个向量之间的一种运算，其结果是一
个实数．
2.内积可用矩阵乘法表示：当x 和y 都是列向量时，
[x, y ] = x y + x y + … + x y = xT y ．
1 1 2 2 n n
2014年4月21 日7时27分 2
内积性质（其中x, y , z 为n 维向量，l 为实数）：
对称性： [x, y ] = [y , x] ．
线性性质：[l x, y ] = l [x, y ] ．
[x + y , z] = [x, z] + [y , z]
当x = 0 （零向量）时，[x, x] = 0 ；
当x ≠ 0 （零向量）时，[x, x] 0 ．
施瓦兹（Schwarz）不等式
2
[x, y ] ≤ [x, x] [y , y ] ．
2014年4月21 日7时27分 3
定义2 ：令 || x || [x , x ] x 2 x 2 x 2
1 2 n
称|| x || 为n 维向量x 的长度 （或范数）．
当|| x || = 1时，称x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
非负性：当x = 0 （零向量）时，|| x || = 0 ；
当x ≠ 0 （零向量）时，|| x || 0 ．
齐次性：|| l x || = | l | ·|| x ||． x + y
三角不等式：|| x + y || ≤ || x || + || y ||． y
y
x
2014年4月21 日7时27分 4
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