2012-2013学年第一学期淮安市2013届高三第一学期期中考试数学试题(word版,含答案).docVIP

淮安市2013届高三第一次调研测试数学试题 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分。请将答案填写在答题卷对应的位置上）高@考#资￥源%网 1.集合，，则 ．满足，其中是虚数单位，则 ． ．，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是 ． ． 6.已知点在圆上运动，则到直线的距离的最小值是 ．.与函数（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是 ． ．，若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高度为 ． 10.已知，若，则的值 为 ． 是各项均为正数的等比数列，则当时，数列也是等比数列；类比上述性质，若数列是等差数列，则当 时，数列也是等差数列．，分别是双曲线虚轴的上、下端点，分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则与夹角的余弦值为 ． 的前项和为，若取值范围是 ．的方程恰有四个互不相等的实数根，则的取值范围是 ．∥， 求角的大小； 求函数的值域 16.（本题满分14分） 如图，在直三棱柱中， 为的中点. 求证：平面； 求证：∥平面. 17.（本题满分14分） 小张于年初支出50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元，小张在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售收入为万元（国家规定大货车的报废年限为10年） 大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？ 在第几年年底将大货车出售，能使小张获得的年平均利润最大？ （利润=累计收入销售收入总支出） 18.（本题满分16分） 已知椭圆的离心率，一条准线方程为 ⑴求椭圆的方程； ⑵设为椭圆上的两个动点，为坐标原点，且．的倾斜角为时，求的面积； ②是否存在以原点为圆心的定圆，使得该定圆始终与直线相切？若存在，请求出该定圆方程；若不存在，请说明理由．项的和为，数列的前项的和为，且 ．对恒成立，求的最小值； ⑶若成等差数列，求正整数的值．．的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； 若关于的方程恰有一解，其中为自然对数的底数，求实数的值． 2．2 3． 6 4．4 5．5 6．2 7． 8． 　　　9．6 10． 11． 12． 13． 14． 二、解答题： 15．(1) 因为向量，，且∥， 所以, …………………………………………………………2分 由正弦定理，得, …………4分 即，所以， ………………………………………6分 因为，所以； …………………………………………………………8分 (2) 因为 ,…12分 而，所以函数的值域为, ……………………14分 16．（1）因为在直三棱柱中，所以平面, 因为平面，所以， 又，,所以平面, 因为，所以 ……………4分 又因为，所以是正方形，所以， 又，所以平面， ……………………………………………8分 (2)在正方形中，设，则为中点,为的中点，结,在中，∥， ………………………………………………………………12分平面，平面，所以∥平面，………………14分 17．（1）设大货车到第年年底的运输累计收入与总支出的差为万元， 则， 即，…………………………………………………4分 由，解得，…………………………………6分 而，故从第3年开始运输累计收入超过总支出． ……………………8分 （2）因为利润=累计收入+销售收入-总支出，所以销售二手车后，小张的年平均利润为 ，…………………………………12分 而，当且仅当时等号成立． 答：小张应当在第5年将大货车出售，才能使年平均利润最大，………………………14分 18．（1）因为，，， …………………………………2分 解得，所以椭圆方程为． ……………………………………4分 （2）①由，解得 ，………………………………………………6分 由 得 ， …………………………………………………………8分 所以，所以． …………………………………10分 ②假设存在满足条件的定圆，设圆的半径为，则 因为，故， 当与的斜率均存在时，不妨设直线方程为：， 由，得，所以， ………………………12分 同理可得 （将中的换成可得）……………………………14分 ，， 当与的斜率有一个不存在时，可得，………………15分 故满足条件的定圆方程为：．…………………………