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2011年—2012学年上学期抽象函数专题讲座 高一年级数学 王丕勇 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊条件的函数。 一.抽象函数定义域 1．已知的定义域，求的定义域 其解法是：若的定义域为，则在中，，从中解得的取值范围即为的定义域． 例1.已知函数的定义域为，求的定义域． 解：的定义域为，，． 故函数的定义域为． 2、已知的定义域，求的定义域 其解法是：若的定义域为，则由确定的的范围即为的定义域． 例2　已知函数的定义域为，求函数的定义域． 解：由，得． 令，则，． 故的定义域为． 二.抽象函数表达式与函数值 换元法. 例3. 已知f(1+ x2)=2+ x2+x4, 求f(x) 解:令t=1+ x2 原式即为： 2.待定系数法：如果抽象函数的类型是确定的，可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。 例4.已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x). 解:由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 代入比较系数得过且过:a=1,b= -2,c= -1,f(x)=x2-2x-1. 3.赋值法：有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例5.对任意实数x,y，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0,则f(2001)=_______. 解:令x=y=0,得：f(0)=0,令x=0,y=1,得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2, 三、抽象函数的模型构造 1、线性函数型抽象函数 f（x）＝kx（k≠0）---------------f（x±y）＝f（x）±f（y） 例6、已知函数对任意实数x，y，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。 解：设，则，∵当时，，∴， ∵， ∴，即，∴为增函数 在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则， ∴ ，故，为奇函数， ∴　，又， ∴的值域为［－4，2］。 2、指数函数型的抽象函数 f（x）＝ax------------- f（x＋y）＝f（x）f（y）；f（x－y）＝ 例7．定义在R上的函数满足：对任意实数，总有，且当时，． （1）试求的值； （2）判断的单调性并证明你的结论； （3）试举出一个满足条件的函数． 解：（1）在中， 令．得：． 因为，所以，． （2）要判断的单调性，可任取，且设． 在已知条件中，若取，则已知条件可化为：． 由于，所以． 为比较的大小，只需考虑的正负即可． 在中，令，，则得． ∵ 时，， ∴ 当时，． 又，所以，综上，可知，对于任意，均有． ∴． ∴ 函数在R上单调递减． （3）如． 3、对数函数型的抽象函数 f（x）＝logax（a0且a≠1）-----f（x·y）＝f（x）＋f（y）；f（）＝ f（x）－f（y） 例8、已知函数满足定义域在上的函数，对于任意的，都有，当且仅当时，成立， （1）设，求证； （2）设，若，试比较与的大小； （3）解关于的不等式 证明：（1）∵，∴， ∴ （2）∵，∴， 即 ∵当且仅当时，成立，∴当时，，∴， （3）令代入得，， ∴关于的不等式为，由（2）可知函数在定义域上是减函数，∴，由得，当时，，此时成立；当时，，此时成立；当，，此时成立。 4、幂函数 --------------，； .已知定义在上的函数f(x)对任何x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x1时,有f(x)1. （1）判断f(x)的奇偶性 （2）判断并证明f(x)在(0,+∞)上的单调性. （3）求解不等式f()≥1 解:（1）令y＝－1，则， 再令x＝y＝1，则，∴ ， 再令x＝y＝-1，则，∴ ， 故，为偶函数， （2） 所以f(x1)f(x2),故f(x)在R+上为减函数. (3)由（2）知函数在定义域内是单调递减的．f()≥即为 学生练习： 一．填空题 1. 若的定义域为，则的定义域为 ． 2.若函数的定义域为,则函数的定义域为 3、函数f(x)的定义域为，对 任意正实数x,y都有f(xy)= f(x)+f(y) 且f(4)=2 ，则 4．（1）已知是一次函数，且满足， = ；（2）已知，= ； 答案：（1） （2）（或）。 5.已知是定义在R上的偶函数,且在是增函数,则不等式的解集是______. 解:由已知 ∴. 6.已知是定义在上的奇函数，当时，的图像如右图所示，那么不等式的解集是_____________；._______ 2000 8．设f (x)是定义在R上的函数。对任意x1，x2，都有f (x1＋x