解析函数的概念与柯西—黎曼条件.PPT

一、复变函数的导数与微分 二.解析函数的概念及其简单性质 3.求导法则 注 二、Cauchy-Riemann方程 作业 P90习题(一) 5 (2),(4) ;6 (2); 7; 8 (1),(2) 本节结束 谢谢！ 例7 解 例8 证 参照以上例题可进一步证明: 例9 证 根据隐函数求导法则, 根据柯西－黎曼方程得 思考题 思考题答案 * * Department of Mathematics 第二章 解析函数 第一节 解析函数的概念 与C-R 条件 第二节 初等解析函数 第三节 初等多值函数 Department of Mathematics 第一节、解析函数的概念与 柯西—黎曼条件 1.定义2.1 在定义中应注意: 2.微分 注:可导与可微等价. 例1 解 1.定义2.2 注1 注2 区域D内的解析函数也称为D内的全纯函数或正则函数 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 2. 奇点的定义 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高得多. 定义2.3 注1、一个函数在一个点可导，显然它在这个点连续；但反之不成立. 注2、解析性与可导性的关系：在一个点的可导性为一个局部概念，而解析性是一个整体概念； 注3、函数在一个点解析，是指在这个点的某个邻域内可导，因此在这个点可导，反之，在一个点的可导不能得到在这个点解析； 注4、闭区域上的解析函数是指在包含这个区域的一个更大的区域上解析； 反函数求导法则 复合函数求导法则 利用这些法则，我们可以计算常数、多项式以及有理函数的导数，其结果和数学分析的结论基本相同。 例2 解 在全平面解析 1.可微的必要条件 证明 则 存在 存在 存在 注:定理条件是必要而非充分的 证 例3 2.可微的充要条件 证 (1) 必要性. (2) 充分性. 由于 [证毕] 3.可微的充分条件 4.解析的充要条件 5.解析的充分条件 注:柯西-黎曼方程是复变函数在一点可微的主要条件 例4 解 例5 解 四个偏导数均连续 指数函数 例6 证明