常微分方程教案2.docVIP

河北民族师范学院课程教案 （章节、专题首页） 课程名称 常微分方程 章节、专题 第二章 一阶微分方程的初等解法 教学目标及基本要求 1.理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学 重点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 教学 难点 积分因子的求法以及隐式方程的解法 教学内容与时间分配 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型， 一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程， 恰当方程及其积分因子法，隐式方程。（14课时）  河北民族师范学院课程教案 （分页） 课程名称 常微分方程 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 (或) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数和分别是的连续函数. 2) 求解方法 如果，方程(2.1)可化为， 这样变量就分离开了,两边积分,得到 （2.2） 把分别理解为的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题 例1 求解方程 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的正常数. 或解出显式形式 例2 解方程 并求满足初始条件：当时.的特解. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的常数.此外，方程还有解. 为确定所求的特解，以.代入通解中确定常数，得到 因而，所求的特解为 例3 求方程 （2.3） 的通解，其中是的连续函数. 解 将变量分离，得到 两边积分，即得 这里的是任意常数.由对数的定义，即有 即 令，得到 （2.4） 此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许，则也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中是任意常数. 注: 1.常数的选取保证(2.2)式有意义. 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件的一个解，表示的是一条过点的曲线. 2、可化为变量分离方程的类型 1）.形如 （2.5） 的方程，称为齐次方程，这里的是的连续函数. 另外,ⅰ)对于方程 其中函数和都是和的次齐次函数，即对有 事实上，取，则方程可改写成形如(2.5)的方程. ⅱ)对方程 其中右端函数是和的零次齐次函数，即对有 则方程也可改写成形如(2.5)的方程 对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令