2015-2016高中数学215平面上两点间的距离学案苏教版必修2.docVIP

2．1.5　平面上两点间的距离在一条直线型的河流l的同侧有两A、B.现在要在河流旁边共建造一水厂C向两个村庄供水要求从水厂向两个村庄铺设的管道最短则水厂应当建在什么地方？我们知道平面上两点间的连线的长中线段的长最短那么应当铺设的管道最短是多少？1．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P＝特别当直线P垂直于y轴时＝|x－x；当直线P垂直于x轴时＝|y－y；当P中有一个是原点时则有OP＝或OP＝利用两点间的距离公式解决相关平面几何问题的基本步骤可归纳为：第一步建立坐标系用坐标表示有关的量；第二步进行有关代数运算；第三步把代数运, 两点间的距离公式(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为：P＝特别：当直线P垂直于y轴时＝|x－x；当直线P垂直于x轴时＝－y；当P中有一个是原点时则有OP＝或 ＝两点间的距离公式可用来计算平面直角坐标系内任意两已知坐标点间的距离公式的推导体现解析几何中常用的数学思想方法——坐标法．通过学习应当深刻理会用坐标法解决几何问题的基本思路． 知识点一　两点间距离公式的正用已知点A(1)，B(2，6)，则AB等于________．解析：AB＝＝答案：三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(3)、B(5－1)、(－2－5)则AB边中线CD的长是________．解析：由中点公式求出AB边的中点D的坐标为(4)，再由两点间的距离公式求出CD.答案：10光线从点A(－3)射到直线l：3x－4y＋4＝0以后再反射到一点B(2)．(1)求入射线与反射线的方程；(2)求这条光线从A到B的长度．解析：(1)设点A关于直线l的对称点为A(x0，y0)，由直线AA与已知直线垂直且AA中点也在直线上则有 解得x＝3＝－3即A(3，－3)．于是反射光线方程为＝即18x＋y－51＝0.同理B(14，－1)，入射光线方程为6x＋17y－67＝0.(2)光线从A到B的长度利用线段的垂直平分线性质即得＋＝A＋PB＝A＝＝5知识点二　两点间距离公式的逆用已知点M(a)到点A(5)的距离为13则a的值为________．解析：由两点间的距离公式得＝13解得a＝0或10.答案：0或10与两点A(－2)、B(2)等距离且在坐标轴上的点的坐标是________．解析：设点P(a)或(0)由两点间的距离公式计算．答案：和(0) 综合点一　两点间距离公式的综合应用已知A(5－1)、B(a＋1－4)则AB的最小值是________．解析：由两点间的距离公式得＝＝＝. 答案：光线从点A(－3)射到x轴上经反射以后经过点(2，10)，则光线从A到B的距离为________．解析：A(－3)关于x轴对称点A′(－3－5)故A到B的距离即为A′B＝＝＝. 答案：5过点P(2)作直线l交x正半轴于A两点当PA·PB取到最小值时求直线l的方程．设直线l的方程为：y－1＝k(x－2)(k≠0)令y＝0解得x＝2－；令x＝0解得y＝1－2k.∴A(0，1－2k)．＝＝≥＝4.当且仅当k＝1即k＝±1时取到最小值．又根据题意k＜0k＝－1.所以直线l的方程为：x＋y－3＝0.综合点二　两点间距离公式在几何证明题中的应用已知△ABC的三个顶点坐标为A(－3)、B(3－3)、(1，7)．求证：△ABC为等腰直角三角形．证明：根据两点间距离公式可得：＝＝2＝＝2＝＝2＝CA且AB＋CA＝BC故△ABC为等腰直角三角形．综合点三　两点间距离公式在实际生活中的应用甲船在某港口东50 乙船在同一港口的东14 南18 处那么甲、乙两船的距离是________．解析：以某港口为坐标原点建系后得甲船坐标为(50)，乙船坐标为(14－18)由两点间距离公式得甲、乙两船的距离为＝18答案：18 km 11．已知0x1，0y1. 求证：＋＋＋，并求等号成立的条件．证明：设四边形OABC是正方形(0，0)、(1，0)、B(1)、C(0)，设P(x)为正方形内一点如下图＝＝＝＝＝＝因为PO＋PB≥BO＋PC≥AC所以PO＋PB＋PA＋PC≥BO＋AC即＋＋＋.当且仅当PO＋＝且＋＝AC时等号成立．此时点P既在OB上又在AC上因此点P是正方形的中心即x＝y＝ 1 1