R(n+1) 上self-shrinkers的谱特征.pdfVIP

数 学 杂 志 Vo1．34(2014) J．ofMath．(PRC) NO．5 R卅 上 self-shrinkers的谱特征 韩方方，杨登允 (江西师范大学数学与信息科学学院，江西南昌330022) 摘要：本文研究了self-shrinkers谱与几何的关系．利用渐进展开式系数相等的方法，获得了如 下结果：设M 是R +1上的n(n 2)维闭self-shrinkers，且 ^ 和S (~／2礼)有相同的平均曲率，如 果specp(M)=specP(S ( ))，则M 是S (、／，)，并推广了R计 上self-shrinkers的特征． 关键词：self-shrinkers；平均曲率；谱 MR(2010)主题分类号：53C17 中图分类号：O186．12 文献标识码： A 文章编号：0255．7797(2014)05—101~05 1引言 设M 是一光滑无边的流形，x0：M R”+ 是一个浸入子流形，考虑欧式空间中一簇 单参数光滑超曲面浸入映射x(o，t)：M ×[0，T) R叶 ，它满足如下发展方程： J【爱 (，t)=H(x，)， M n1、 (，0)=Xo(x)， 一 一一 其中H(x，t)是X(x，t)平均曲率向量．如果H：一等 且XⅣ=(X，e)，其中e。是流形M 的法 向量场且 =n+1，n+2，… ，n+m，则 称为 self-shrinkers．当m =1时，M 则为 超曲面，这时XⅣ： (X，)，这里V是M 的单位法向量． 对于光滑紧致定向的n维黎曼流形M，令AP(M)表示P阶光滑微分形式构成的空间， △是作用在AV(M)上的拉普拉斯算子．再令specP(M)表示算子△在AP(M)上的谱．关于 谱与流形之间有一个著名的问题：黎曼流形M 的spec(M)是否决定 的几何结构?一般 情况下是不成立的，Milnor Vigneras[0】和 Ikeda0【]分别给除了一些反例．但是，对于一些 特殊流形还是有肯定的答案的．Berger，Patodi以及 Tanno等分别在文献 [4—6】得到了一些 有意义的结果；李光汉和吴传喜在文献 f81中得到了关于球面中具有常平均曲率超曲面的谱 特征；李振和和王伟在文献 [7】中得到了关于球面上 Willmore超曲面的谱特征，即若此超曲 面与Willmoretorus具有相同的平均曲率，且二者的谱相等，则此超曲面为Willmoretorus． 本文主要研究了欧氏空间中self-shrinkers谱特征的问题． 主要定理 设M 是R+ 上的n(n 2)维闭self-shrinkers，且M 和S“(、／／2n)有相同 的平均曲率，如果specP(M)=specP(S (、／／2n))(p=0，1，2)，则 是S”(、／／2n)． 2预备知识 收稿 日期：201210—15 接收 日期：2013．01．19 基金项目：国家自然科学基金天元青年基金 ；拟爱因斯坦度量及相关问题 作者简介：韩方方 (1985一)，女，山东菏泽，研究方向：微分几何．E—mail：hff6688~126．com． 通讯作者：杨登允 韩方方等：R + 上 self-shrinkers的谱特征 设M 是R+ 中礼维紧致 self-shrinker．令R，mc和 P分别表示 M 的黎曼曲率张量， Ricci曲率张量和数量 曲率张量，并用 2和 分别表示R~1Ric的分量，则Guass方程 表示为 R =hikhjl—hizhjk，