刘晓宁用涛加 橙驰 变量 的方 法证 明不 等式.pdfVIP

第 9卷第 4期 洛阳大学学报 Vo1．gNo．4 1994年 12月 JOURNALOFLUOYANG UNIVERSITY Dec．1994 ；J一弓 用添加松驰变量的方法证 明不等式 刘晓宁6 0 i 摘 要 主要对部分不等式的证明采取添加松驰变量 的方法 ，使得不等式 演变为等式，然后通过求松驰变量的极值问题，进而使原不等式得以证昀、 关键词 松驰变量 ，极值 ，约束条件 分类号O122．3 砾ic 钆 j五明 1 一元不等式的证明 若欲证明不等式 ， )≥g(z)，则添加一个松驰变量Y，使得：，(．r)+ =g )，这 样只要证明 ≤o即可，亦即证 明Y的最大值是0． 若证明， )≤g(．r)，则只要证明 ≥O，即Y的最小值为 0即可 ． 例 1 已知o．r ，证明 (1+cosx)s_力百x 百4 i · 证不等式左边添加松驰变量，经移项得一_4等量一(1+cos)sin詈．现须证 的最小值为 0， 对 求导，得 =sinzsin詈一1c。s专(1+cost)一o，化简得 cos 号(3si专一1)一o． 在o时，cos专≠o故 3sin。詈一1．即 一 … in 孚． 又 I… 孚 o，故当or． 时， 在X~arcsi“ 兰处取的极大值为 —o． 又除—aresin孚外，o，故 一o．即 (1+c。)sin专≤_4等量．证毕． 2 多元不等式的证明 2．1 有约柬条件 的多元不等式 作者单位-洛阳大学成 』、教育处．471000．河南省洛阳市 洛阳大学学报 若欲证明满足约束条件 僻(面，z：，…，‘)一0 (—l，2，…．)的不等式 f(x1， 2，… ， )≥g(x】，z2，… ， )， 则在不等式左边添加变量y，使之为 f(x1， 2，… ， )+ —g(l， ，… ， ，)， 我们只要证明 y=g(x1，z2，…， ．)一f(x1，z：一…，-27．)在约束条件 ( 1 2… z )=：0 (— l，… ， ) 下y能取得最大值为 0即可 ． 例 2 设 口，6，c6R且 口+6+f—l，求证 +b2+c≥÷． 证 添加松驰变量Y，使得成为等式 + +，+ 一÷，然后变形得 T 一 寺一(+扩’卜)． 作辅助函数 F(a，b，c，)一÷一(d+ +c)+ 0+6+C--1)， ： 一2。+ 一 0， 丽aF 一 一 2b+A= 0， 解方程组 婺一一2斗 一0， 筹一 +一1=0． 则得 n一6一c一言- 不难判断，在a+b+c=l的条件下，在n一6一c一{时，y取的最大fti0． 证毕 2．2 无约柬条件且变元为非对称型不等式 对于无约束条件且非对称型不等式 ．同样可通过添加松驰变量 ，使得 f(x1， ：，…， ．)+ —g(】， ：，… ，薯 )． 只要证明y的最大值为 0即可 ． 例 3 已知 0，求证 + ≥3· 证 将不等式左边舔加变量 ，使不等式变形的 +