第三节直梁的弯曲.ppt

第3章 直梁的弯曲 3.1 梁的弯曲实例与概念 3.2 梁横截面上的内力—剪力与弯矩 3.3 弯矩方程与弯矩图 3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 3.5 梁弯曲时的强度条件 3.6 梁截面合理形状的选择 3.7 梁的弯曲变形 【例3-7】外伸梁受载荷如图所示，已知q和a值，画出此梁的弯矩图。 解 ①求支座反力 ②求ABCD点的弯矩 ③在弯矩图上定出A’ C’B’ D’各点，直接画弯矩图 AC、CB段：直线 BD段：开口向下的抛物线，多取几点画之。 A’ C’ B’ D’ ④找危险截面B，|Mmax|=1/2qa2 3.4 弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 CD：截面只有弯矩M，而无剪力Q，称为纯弯曲 一般：截面上同时有弯矩M和剪力Q，称为横力弯曲。 Q Q=0 P M M=Pa P P a a 纯弯曲 A B C D 现在研究纯弯曲时梁的变形规律 m m n n a a b b M M m n n m a a b b d? M M 变形后 横向线m-m、n-n仍保持直线，但相对转过一个角度d?。 纵向线变为弧线，a-a 缩短，b-b伸长，但仍与m-m、n-n线正交。 弯曲变形的平面假设 横截面在弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。 一、纯弯曲时的弯曲变形特征 纯弯曲变形实验 表面现象 推论 重要推论 想像梁由许多纵向纤维组成，变形后上面纤维缩短，下面纤维伸长，中间必有一层纤维既不伸长又不缩短，此层称为中性层。 平面假设 A A B B a a b b M M 中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时各个截面绕着中性轴转动。中性轴通过截面形心。 A B B A a a b b d? M M 变形后 有中性层存在 横截面在纯弯曲变形后仍保持为平面，只是绕截面内某一轴转动了一个角度。 二、梁弯曲时横截面上的正应力及其分布规律 变形几何关系 除中性层外，上面纤维aa 缩短，下面纤维bb伸长，很显然，各层纤维的绝对变形量△L与该层到中性层的距离y成正比。即： △L∝ y 梁纯弯曲时，横截面上只有正应力，为研究其分布规律，必须从几何、物理、静力平衡三方面进行分析。 △L∝ y 各层纤维的绝对变形量△L与该层到中性层的距离y成正比。 纯弯曲时，各层纤维的应变与该层到中性层的距离y成正比。 物理关系（应力与变形关系） 横截面上各点的正应力σ的大小与该点到中性轴的距离 y 成正比。 纯弯曲时正应力分布规律： 离中性轴越远，应力越大，中性轴上应力为0。 中性层的一侧为拉应力，另一侧为压应力。 M y σ σ ymax σmax 距中性轴为y处的正应力σ与距中性轴为ymax的最大应力σmax有如下的关系： 故应力分布规律可以写成 M y σ σ ymax σmax 横截面上最大正应力发生离中性轴最远处,即截面的上下边缘处。 M 以下推导应力计算公式。 在横截面上距中性轴距离为y处，取微面积dA。 作用在微面积dA上的应力为σ，均匀分布。 作用在微面积dA上的微内力为σ dA 。 微内力σdA 对中性轴的微力矩为yσdA 。 横截面上所有微力矩的总和就是横截面上的弯矩M 。即： M y σ ymax σdA Z：中性轴 z 静力平衡关系（应力与弯矩的关系） M y σ ymax σdA 中性轴 Jz 称为横截面对中性轴z 的轴惯性矩，取决于截面尺寸和形状，单位m4。 令： 则有： 令： 称为抗弯截面模量，单位为m3，也取决于截面尺寸和形状 M y σ σ ymax σmax 梁弯曲时横截面上最大正应力公式： 横截面上 最大正应力 该截面弯矩 该截面抗弯 截面模量 试验和理论分析表明，对于细长梁（跨度与横截面高度之比l/h5）,用此公式计算横力弯曲时的正应力也是足够精确的。 轴惯性矩和抗弯截面模量 矩形截面 实心圆截面 Z d 圆环截面 工字钢截面的惯性矩和抗弯截面模量查教材附表8 3.5 梁弯曲时的强度条件 一、梁的最大正应力 梁的危险截面 梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上 危险截面位于梁中部 危险截面位于梁根部 梁的最大正应力 梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处 二、梁的强度条件 Mmax 梁内最大弯矩 WZ 危险截面抗弯截面模量 [σ] 材料的许用应力 利用强度条件可以校核强度、设计截面尺寸、确定许可载荷。 【例3-7】有一型号为16的工字钢截面简支梁，如图所示。已知P=27.5KN。钢材弯曲许用应力[σ]=120MPa，试校核梁的强度。 解： 最大弯矩发生在集中力P作用处，即梁的中点。 查附表8 ，16号工字钢WZ=141cm3=141000mm3。 故钢梁的最大正应力为 此梁安全 【例3-9】悬臂梁由两根工字钢组成，设备总重P（包括物料重）为10kN，设备中心