球面三角形面积.pdf

教學分享 球面三角形面積 桃園高中退休◆簡茂祥 老師 一、半圓面及半圓弧 球面上，分別過各一點 P 4Q 4R 的直徑的另一端點 P84Q84R8 ， （以球心為對稱中心的對稱點） 求直徑 PP8 、半圓面 PUP8 、半圓弧 PWP8 過球面上兩點 P 4Q 的大圓，必過其直徑端點 P84Q8 過球面上兩點 Q 4R 的大圓，必過其直徑端點 Q84R8 過球面上兩點 R 4P 的大圓，必過其直徑端點 R84P8 過球面上三點 P 4Q 4R 中每兩點做大圓，得 球面三角形△PQR 與△P8Q8R8為全等形，等表面積=A 球面三角形△PQR8與△P8Q8R 為全等形，等表面積=B 球面三角形△P8QR 與△PQ8R8為全等形，等表面積=C 球面三角形△PQ8R 與△P8QR8為全等形，等表面積=D 　　球面上，分別過 P 4Q 兩點、Q 4R 兩點、P 4R 兩點的大圓 　　註： 　　此不同的三大圓分割球面成八個區域，但每兩個全等的形區域，不同的三個大圓分球面至少 六個區堿、至多八個區域的二種狀況（三大圓相交兩個點正好是一直徑的兩端點，將球面分成六 個區堿正好三對全等形）。 二、相交兩弧夾角及兩半圓弧所夾得月型球面面積 設 (PQ 表過兩點 P 4Q 的大圓上的部分弧片段，亦即球面兩點 P 4Q 最短距離 m(PQ 兩弧夾角是 共直徑的兩弧夾角，指的是共直徑的兩弧所在的半圓面組成的二面角的平面角。夾角如下頁圖所 示： 36 e ZX數學天地 教學分享 ∠SOT =q ，即為半圓弧 PSP8 與半圓弧 PSP8 的夾角，球心為 O ，S 4O 4T 三點皆在法向量為 $OP! 的平面上。亦即在平面上 #SO 4#OT 所夾的平面角 因此在球面上半圓弧 PSP8 與半圓弧 PSP8的夾的月型球弧表面積為 2 q 2 4pr （求全表面積）* =2qr （r 為球的半徑） 2p 月型球弧表面積=兩半圓弧面得夾角乘以 2 倍球半徑長平方 三、球面三角形表面積 若半徑為 r 的球面上三點 P 4Q 4R 4PQ( 4PR( 兩大圓弧的夾角為 a ，(QP 4(QR 兩大圓弧的夾角為 b ，RP( 4RQ( 兩大圓弧的夾角為 g ，球面三角形簡稱 s ，則 球面三角形△PQR =sPQR 與△P8Q8R8=sP8Q8R8為全等形，等表面積=A 球面三角形△PQR8=sPQR8與△P8Q8R8=sP8Q8R 為全等形，等表面積=B 球面三角形△P8QR =sP8QR 與△PQ8R8=sPQ8R8為全等形，等表面積=C 球面三角形△PQ8R =sPQ8R 與△P8QR8=sP8QR8為全等形，等表面積=D PQ( 4PR( 兩大圓弧的夾角為 a 的月型球弧表面積為 2 sPQR sP8QR =A C=2ar ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 ） (QP 4(QR 兩大圓弧的夾角為 b 的月型球弧表面積為 2 sPQR sPQ8R =A D =2br ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 ） RP( 4RQ( ，兩大圓弧的夾角為 g 的月型球弧表面積為 2 sPQR sPQR8=A B =2g r ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（3 ）