线性方程组解情况判定.doc

线性方程组解的情况判定 教学目的：掌握线性方程组解的存在性的判别方法。 教学重点：线性方程组有解判别定理及其推论。 教学过程： 下面我们来说明如何利用初等变换来解一般的线性方程组。 第一步 对于方程组(9.1)，如果的系数不全为零，那么利用初等变换1，可以设； 第二步 利用初等变换2，分别把第一个方程的倍加到第个方程，于是方程组(9.1)变成 (9.2) 其中。 这样，解方程组(9.1)就归结为解方程组 (9.3) 方程组(9.1)有解的充分必要条件为方程组(9.3)有解； 第三步 对(9.2)上面的类似变换，最后得到一个阶梯形方程组 (9.4) 其中。方程组(9.4)中的“”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，去掉它们不影响(9.4)的解。 方程组(9.1)与方程组(9.4)是同解的。 下面讨论方程组(9.4)解的情况，即方程组(9.1)解的情况。 1．如(9.4)中有方程，而，这是不管取什么值都不能使它成为等式，所以(9.4)无解，从而(9.1)无解。 2．如(9.4)中，或(9.4)中根本没有“”方程时，分两种情况： (1) 当时，阶梯形方程组为 (9.5) 其中 由最后一个方程开始，的值可以逐个惟一地确定了。这时，方程组(9.5)也就是方程组(9.1)有惟一解。 如上面的例1，经过一系列初等变换后，它变成了阶梯形方程组 用乘最后一个方程，得；代入第二个方程，得；再把，代入第一个方程，得。即方程组有惟一的解。 (2) 当时，阶梯形方程组为 把它改写成 　　　　 (9.6) 这时任给一组值，就惟一的定出的值，也就是定出方程组(9.6)的一个解。一般地，由(9.6)可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组(9.1)的一般解，而称为一组自由未知量。由于自由未知量可以取任意实数，所以方程组(9.1)有无穷多个解。 例2 解方程组 解 把方程组中的第1行的方程适当倍数加到其他3个方程，得 继续施行初等变换得 再施行一次初等变换，得 最后，得 其中是自由未知量。 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程。 总之，方程组(9.1)有解的充分必要条件是，且时有惟一的解；当时有无穷多解。